定义1.6 由真值联结词构成的复合命题的形式结构叫做真值形式（或命题形式）.

例如，复合命题“p或q”的真值形式一般记作（p∨q），其中∨是真值联结词，p和q表示命题变项，它们是复合命题（p∨q）的支命题.真值形式也可以用图表来说明.这种表叫做真值表.复合命题（p∨q）的真值表如下：

在上表中，第（1）行表示：当命题变项p和q都取真值真时，复合命题（p∨q）的值为真；第（2）行表示：当命题变项p取真值真，q取真值假时，复合命题（p∨q）的值为真；第（3）行表示：当命题变项p取真值假，q取真值真时，复合命题（p∨q）的值为真；第（4）行表示：当命题变项p取真值假，q取真值假时，复合命题（p∨q）的值为假.从复合命题（p∨q）的真值表可以看出：一个复合命题（即真值形式）的真假，完全可以由其支命题的真假来确定.

在日常语言里，断定“p或q”时，一般总先要断定p和q两种可能中的任一种.如果p和q中有一个可能已经被断定了，人们往往不会再做“p或q”这样的断定.例如，我们已经知道4是偶数.因此，一般不会再说“4是偶数或者4是奇数”.只有在人们既不能断定4是偶数，也不能断定4是奇数时，才会说“4是偶数或者4是奇数”.但是，逻辑允许在已知“1＜2”真而“1=2”假的同时也承认“1＜2或者1=2”为真，即在“1≤2”的意义上使用“或者”.应该注意，断定“1≤2”并不导致既断定“1＜2”又断定“1=2”.另外，由于算术加法只允许同名数的量相加，也就是说，2个苹果+3个苹果=5个苹果，但2个苹果和3个梨不能相加，因此，两个毫不相干的命题，我们是不会用真值联结词联结起来作为我们讨论的对象.例如，我们不会把（p∨q）解释成“2+4=4或者血是红的”.总之，我们使用（p∨q）的意义与算术中x+y的意义相当.

在本书中，经常用到的真值联结词一共有五个.它们是：否定词⇁，合取词∧，析取词∨，蕴涵词→，等值词↔.除合取词和析取词之外，其他几个联结词与日常语言中对应的联结词之间也是有区别的，其区别我们不再讨论.有时我们也称这五个联结词为基本的真值联结词.由它们构成的真值形式分别叫做否定式、合取式、析取式、蕴涵式和等值式.下面是对这五个基本真值联结词和它们所对应的真值形式的一些说明.

否定式⇁p：读作“并非p”或者“非p”.它是p这一命题的否定命题.由于这个真值联结词只联结一个命题变项，从复合命题的角度考虑，这是一种特殊情况，它只是一个命题的“复合”.所以，有时我们称⇁为一元真值联结词.它的真值表如下：

从表（1）中可以看出：⇁p是p的否定，反之，p也是⇁p的否定.因为p真则⇁p假，p假则⇁p真.

合取式（p∧q）：读作“p并且q”，它相当于“p并且q”这一复合命题.由于它联结两个命题变项，所以，我们称∧为一个二元的真值联结词.它的真值表如下：

从表（2）中可以看出：如果p和q都真，则合取式（p∧q）的值为真，在其他情况下，合取式（p∧q）的值都是假的.

析取式（p∨q）：读作“p或q”，它相当于“p或q”这一复合命题.“或”一词的含义在日常语言里，有时表达相容的析取，有时表达不相容的析取.这里我们采用相容的析取.∨也是一个二元真值联结词，它的真值表前面已经详细讨论过，这里不再重述.

蕴涵式（p→q）：读作“如果p，那么q”或者“p蕴涵q”.值得注意的是，符号→也叫实质蕴涵.它也是一个二元联结词.它的真值表如下：(www.daowen.com)

从表（3）中可以看出：只是当p真而q假时，真值形式（p→q）的值才假.在其他情况下，（p→q）的值都真.在这个表中，一般人对于前两个结论（即（真→真）的值为真，（真→假）的值为假）是能够接受的.但对于后两行的结论（假→真）的值为真和（假→假）的值为真总会产生一些怀疑.因为对命题（p→q）来说：如果p为真，则q为真.对于p为假的情况，它什么也没说.那么这个命题的后两种结论是从哪里来的呢？实际上这些结论在古希腊的逻辑学家那里就已经有了.他们研究过（p→q）形式的蕴涵关系，并把它定义为（⇁p∨q）.下面的真值表告诉我们：（p→q）和（⇁p∨q）的真值完全一样.

从那时起，（p→q）的这个定义就一直被延用了下来.有什么道理吗？没有很多道理，只是因为人们感到这样的定义是严格的，用起来也很方便.例如，在著名逻辑家罗素和怀特海的《数学原理》一书中，就以这个定义为主要工具来表达数学基础.当然它也不是没有一点问题，但关于这些问题的讨论已超出了本书的内容，有兴趣的读者可参看文献[13]和[14].

等值式（p↔q）：读作“p等值于q”或者“p当且仅当q”.它表示p和q的真值相等，即同真同假.它相当于日常语言中使用的“如果p则q，如果非p则非q”，它也是一个二元真值联结词.它的真值表如下：

从表（4）中可以看出：当p和q同真，或p和q同假时，等值式（p↔q）的值均为真.在其他情况下，即p和q取真假不同的值时，（p↔q）的值为假.

在这里，我们主要说明了什么是真值形式和真值联结词，并定义了：

（1）五个基本的真值联结词，其中一元真值联结词只有一个，它是⇁（否定）；二元真值联结词有四个，它们是：∧（合取），∨（析取），→（蕴涵）和↔（等值）.

这里，需要注意的是：我们在使用这五个基本的真值联结词⇁、∨、∧、→和↔时，仅仅把它们作为联结一个或两个命题变项的运算符号来使用，而运算的结果是由它们的真值表决定的.在这个意义上，我们也可以称⇁是一个一元运算，而∨、∧、→和↔都是二元运算.而且这五个运算符号关于命题的运算其结果是封闭的和唯一的.这相当于+（加法）、×（乘法）关于自然数的运算是封闭的.但是，-（减法）和÷（除法）关于自然数的运算是不封闭的.所以，在自然数上，我们只能进行加法和乘法的运算，在有理数上，我们可以进行加、减、乘和除四种运算.现在，在命题上我们定义了五种运算.这朝着数理逻辑的创始人莱布尼茨的设想迈出了一大步.

（2）五个基本的真值形式，它们是与上面的五个基本真值联结词对应的，其中包括：⇁p（否定式），（p∧q）（合取式），（p∨q）（析取式），（p→q）（蕴涵式）和（p↔q）（等值式）.

它们是五个非常重要的真值形式，也是数理逻辑里五个极为重要的命题形式.为了便于比较，现将它们的真值表合并如下：