映射或者函数的概念是大家在中学里就熟知的.在集合论中，我们也可以定义映

射或函数的概念，不同的是映射或函数的概念是作为二元关系的特殊情况出现的.

定义4.1 设f是一个二元关系.如果对于任意的x∈dom f，存在唯一的y∈ran f，使得〈x，y〉∈f成立，那么称二元关系f是一个映射（也称函数或变换），并称y是x在f下的像.

由此可知，映射具有单值性，而关系未必，所以映射是一类特殊的关系，从而也是一类特殊的集合.

约定：（1）本书中采用f，g，h，…或加下标表示函数；（2）设f是一个函数，若〈x，y〉∈f，可记作f（x）=y.于是

〈x，y〉∈f当且仅当f（x）=y.

这里f（x）表示函数f在点x处所对应的值，或x在f下的像，即〈x，f（x）〉∈f.

因为函数或者映射就是一个二元关系.因此，前面定义的关系的定义域、值域、像、逆像等概念都可以被移植过来.下面我们介绍几个有关的概念.

定义4.2 令A和B是集合，f是一个函数.

（1）如果dom f=A，那么称f是A上的一个函数；

（2）如果ran f⊆B，那么称f是到B内的一个函数；

（3）如果dom f=A，并且ran f⊆B，那么称f是从A到B上的一个函数，记作f：A→B.

例4.1 令f1={〈x1，y1〉，〈x2，y1〉，〈x3，y2〉}，则f1是一个函数，并且dom f1={x1，x2，x3}，ran f1={y1，y2}.但是，f2={〈x1，y1〉，〈x1，y2〉，〈x2，y1〉}不是函数，因为f2（x1）=y1并且f2（x1）=y2，但y1≠y2.

例4.2 令，则F是一个函数.因为如果a Fb1和a Fb2，由和，所以，b1=b2.

例4.3 令函数，x≠0并且x是实数.它是A上的一个函数，A={x|x是实数，x≠0}=dom f.即f是实数集内的一个函数，但不是实数集上的一个函数.如果B={x|x是实数，x＞0}，那么f是到B内的一个函数.如果C={x|0＜x≤1}，那么f[C]={x|x≥1}并且f-1[C]={x|-1≤x≤1且x≠0}.(www.daowen.com)

通常，从集合A到集合B上的函数不是唯一的.例如，当A={a，b}，B={1，2}时，A到B的函数如图1-15所示.

图1-15

其中

f1={〈a，1〉，〈b，1〉}， f2={〈a，2〉，〈b，2〉}

f3={〈a，1〉，〈b，2〉}， f4={〈a，2〉，〈b，1〉}

对于A到B的函数，我们只要求A中每个元素都有像，并不要求B中每个元素都是A中某个元素的像.我们还要求A中每个元素的像是唯一的，并不要求A中不同的元素其像也不同.但确实存在这样的函数，它要么使A中不同元素的像也不同；要么使B中的每一个元素都至少是A中某一个元素的像；或者二者兼之，即：它既能使A中不同元素的像不同，同时，也能使B中的每个元素都至少是A中某一个元素的像.

定义4.3 设f：A→B，如果任给x，y∈A并且x≠y蕴涵f（x）≠f（y），那么称f是单射.否则，称f不是单射.

由定义4.3可知，图1-15中的函数f1和f2都不是单射，f3和f4都是单射.

定义4.4 设f：A→B.如果ran f=B，即任给y∈B，存在x∈A，使得f（x）=y，那么称f是满射.否则，称f不是满射.

由定义4.4可知，图1-15中的函数f1和f2都不是满射，f3和f4是满射.

定义4.5 既是单射又是满射的函数称为双射，也叫一一对应.在这种情况下，A中元素和B中元素一一对应.特别是，当A是有限集时，B也是有限集，并且B的元素个数与A的元素个数一样多.

显然，图1-15中的函数f3和f4是双射.

在上一节中，我们定义了关系的逆.对于映射，我们也可以定义其逆.但是，由于映射的单值性，我们就不能像普通关系那样，把有序对的元素交换一下顺序得到它的逆.对于映射，我们必须增加一些要求.例如，h={〈a，1〉，〈b，2〉，〈c，3〉}是双射，从而h-1={〈1，a〉，〈2，b〉，〈3，c〉}是映射，而且是集合{1，2，3}到集合{a，b，c}上的一个一一对应.但是，前面给出的f1～f2都不是双射，从而其逆都不是映射.因此，当f是双射时，f的逆f-1也是映射，而且它也是一个双射.