1.设A={0，1}，B={1，2}，求下列集合：

（1）（A×{1}）×B； （2）（A×A）×B； （3）（B×A）×（B×A）.

2.设A={1，2}，求P（A）×A.

3.已知A⊆C并且B⊆D，求证：A×B⊆C×D.

4.设A，B，C是三个任意的集合，求证：

（1）（B∪C）×A=（B×A）∪（C×A）；

（2）A×（B∩C）=（A×B）∩（A×C）；

（3）（B∩C）×A=（B×A）∩（C×A）；

（4）（B-C）×A=（B×A）-（C×A）；

（5）A×（B-C）=（A×B）-（A×C）.

5.设A={〈1，2〉，〈2，4〉，〈3，3〉}，B={〈1，3〉，〈2，4〉，〈4，2〉}，求A∪B，A∩B，A-B，dom（A），dom（B），dom（A∪B），ran（A），ran（B），ran（A∩B），fld（B），fld（A）.

6.设R={〈0，1〉，〈0，2〉，〈0，3〉，〈1，2〉，〈1，3〉，〈2，3〉}，计算：R◦R，R↾{1}，R-1↾{1}，R[{1}]，R-1[{1}].

7.证明关系的逆和复合具有以下性质：

（1）（R1◦R2）◦R3=R1◦（R2◦R3）；

（2）dom（R-1）=ran（R），ran（R-1）=dom（R）；

（3）（R-1）-1=R.

这里R为一个二元关系.

8.设X是一个集合，R⊆X×X，证明：

（1）R自返当且仅当IX⊆R；

（2）R反自返当且仅当IX∩R=∅；

（3）R对称当且仅当R=R-1；

（4）R反对称当且仅当R∩R-1⊆IX；

（5）R传递当且仅当R◦R⊆R.

9.设集合A={1，2，3，…，10}，R={〈x，y〉|x，y∈A并且x+y=10}，试判断R具有哪些性质.

10.设A={a，b，c，d}，Ri⊆A×A，i=1，2.其中R1={〈a，a〉，〈a，b〉，〈b，d〉}，R2={〈a，d〉，〈b，c〉，〈b，d〉，〈c，b〉}.求R1◦R2，R2◦R1，R1◦R1，R2◦R2.

11.列出X={a，b，c}到Y={s}上的所有关系.

12.列出集合1上的所有二元关系.(www.daowen.com)

13.一个有n个元素的集合X上有多少二元关系？

14.令IX={〈x，y〉|〈x，y〉∈X×Y并且x=y}.令S是X到Y上的一个关系.证明：IY◦S=S并且S◦IX=S.

15.令S是一个从X到Y上的关系，T是一个从Y到Z上的关系.如果A，B⊆X，令

S（A）={y|〈x，y〉∈S，对某个x∈A}.

证明：（1）S（A）⊆Y； （2）（T◦S）（A）=T（S（A））；

（3）S（A∪B）=S（A）∪S（B）； （4）S（A∩B）⊂S（A）∩S（B）.

16.令S和T是从X到Y上的关系.证明：

（1）（S∩T）-1=S-1∩T-1； （2）（S∪T）-1=S-1∪T-1.

17.令S是一个X上的二元关系.证明：如果S是传递的和自返的，那么S◦S=S.其逆成立吗？

18.构造集合3上的所有等价关系.

19.令A是集合X上所有等价关系的集合，证明：∩A是X上的一个等价关系.

20.令A={0，1，2，3}，R={〈0，0〉，〈1，1〉，〈2，2〉，〈3，3〉，〈1，2〉，〈1，3〉，〈2，1〉，〈2，3〉，〈3，1〉，〈3，2〉}，证明：R是A上的等价关系.

21.设R是集合A上的对称的和传递的二元关系.如果对于A中的任何元素a，同时存在元素b∈A，使得〈a，b〉∈R，求证：R是A上的等价关系.

22.求集合A={a，b，c}上的全部等价关系.

23.已知R是集合A上的一个二元关系，设

S={〈a，b〉|a，b∈A并且存在c使得〈a，c〉∈R且〈c，b〉∈R}.

试证明：如果R是A上的一个等价关系，则S也是A上的一个等价关系.

24.设S是X上的一个等价关系，T是Y上的一个等价关系，令

〈〈x1，y1〉，〈x2，y2〉〉∈P当且仅当〈x1，x2〉∈S并且〈y1，y2〉∈T.

证明：P是X×Y上的一个等价关系.

25.证明：集合X上的包含关系⊆是其幂集P（X）上的一个偏序关系.

26.设R1是A上的一个偏序关系，R2是B上的一个偏序关系.在A×B上定义一个二元关系R3：对任意的a1，a2∈A，b1，b2∈B，〈〈a1，b1〉，〈a2，b2〉〉∈R3当且仅当〈a1，a2〉∈R1并且〈b1，b2〉∈R2.证明：R3是一个偏序关系.

27.构造集合3上的所有偏序，哪些是全序？

28.∅可以是一个等价关系吗？是一个序吗？

29.令A是集合X上序的一个非空集，证明：∩A是一个序.

30.证明：S-1是X上的一个序当且仅当S是X上的一个序.