集合的元素是不涉及顺序问题的.例如，集合{a，b}是一个对元素的次序无要求的集合，其元素就是a和b.其“次序”就是对a和b来说，可以无规则地放到一起，即{a，b}={b，a}.为了满足许多应用，我们需要把a和b按照某种方式配对，以使得a和b可以按次序出现.于是，我们把这种情况定义为有序对，记作〈a，b〉.其中：a是有序对的第一坐标，b是有序对的第二坐标.我们通过以下的方式来定义两个有序对相等.即：两个有序对相等当且仅当它们的第一坐标和第二坐标分别都相等.特别要保证当a≠b时，〈a，b〉≠〈b，a〉.

我们可以有许多定义〈a，b〉的方式，现在给出一个.这是1921年波兰数学家K.库兰达夫斯基给出的一个定义.

定义3.1 〈a，b〉={{a}，{a，b}}.

若a≠b，那么〈a，b〉这个集合有两个元素，一个元素是单元集{a}，另一个元素是a和b两个元素的无序对集合{a，b}.若a=b，则〈a，a〉={{a}，{a，a}}={{a}}，它只有一个元素.显然，有序对〈a，b〉的两个坐标都是唯一确定的.下面我们给出一个定理.

定理3.1 〈a，b〉=〈a′，b′〉当且仅当a=a′且b=b′.

证明 若a=a′，且b=b′，当然会有：〈a，b〉={{a}，{a，b}}={{a′}，{a′，b′}}=〈a′，b′〉.

下面的证明比较复杂.假设〈a，b〉=〈a′，b′〉，亦即：

因此必有

同时成立.由（2）式，可得

中必有一个成立.由（3）式可得(www.daowen.com)

中必有一个成立.

若（4）式成立，即得a=a′，此时当（6）式成立时，可得a=b=a′.再由（1）式得{a}={a，b′}，故b′=a.所以有：a=a′，b=b′.当（7）式成立时，可得b=b′或者a=b=a′=b′.不论怎样，结论总成立.

若（5）式成立，有a=a′=b′，当（6）式成立时，可得a=b=a′=b′成立.当（7）式成立时，也有a=b=a′=b′.综上所述，不论在哪一种情况下，结论都成立.

用处理有序对的方法，我们还可以定义三元有序组〈a，b，c〉=〈〈a，b〉，c〉；四元有序组〈a，b，c，d〉=〈〈a，b，c〉，d〉，以及n元有序组.

定义3.2 设ai（i=1，2，…，n）都是集合.如果一个有序对的第一坐标为（n-1）元有序组，那么称它为n元有序组，记作〈〈a1，a2，…，an-1〉，an〉，简记为〈a1，a2，…，an〉.当n=1时，一元有序组为〈a〉=a.当n=2时，〈a1，a2〉就是二元有序对.当n=3时，〈a1，a2，a3〉就是三元有序组.

对于n元有序组，我们有类似于定理3.1的结论.

定理3.2 〈a1，a2，…，an〉=〈b1，b2，…，bn〉当且仅当

a1=b1，a2=b2，…，an=bn.