这一章的主要概念是集合.什么是集合？究竟怎样定义集合？这些问题至今没有解决.但是，集合的概念，至少从表面上理解是绝对简单的.集合论的创始人G.康托尔（Cantor）曾把集合定义为：我们的直观或思维中确定的并可区分的对象所概括成的一个总体.组成集合的那些对象叫元素.所以有：2003年9月南开大学所有注册学生的集合，所有奇数的集合，所有粉红色猫的集合.从康托尔的定义可以看出，集合不是现实世界的物体，像书或月亮，它们是由我们的思想，而不是由我们的双手创造的.我们的思想具有抽象的能力，还有把各种不同的物体根据某些共同属性把它们汇聚在一起形成具有那种属性的所有对象构成的集合的这样的思考能力.于是对含有确定的数字2，4，7，12，13，29，35，1 200的集合，我们很难看出有什么把它们联系在一起，但是只有一个事实，即：我们在思想中把它们汇集在一起.从康托尔的定义还可以看出，一个集合应具有两个重要特征：一是集合中的元素是确定的，二是集合的元素之间是可以区分的.在此基础上，康托尔建立了集合论体系，即朴素集合论.但是，他的集合论体系并不完善.1902年B.罗素（Russell）在康托尔的朴素集合论中发现了一个悖论.关于这个悖论，我们将在后面讨论.另外，在康托尔的集合定义中，像“思维”这样的概念在数学中是不能定义的.基于以上种种原因，现在，人们只给集合作一个描述性的说明.而康托尔本人关于集合的定义就是一个较好的对集合的描述性说明.总之，我们可以把集合理解成：具有某种属性的事物的全体，或者是一些确定对象的汇总.构成集合的事物或对象称为集合的元素.集合也简称为集.

我们不给集合这个概念下严格的定义，但这并不影响人们对集合的理解.我们可以毫不费力地举出许许多多集合的例子来.例如，包括零在内的全体自然数组成的集合，汉语拼音中21个声母组成的集合.为了便于理解，下面再举一些集合的例子.不过，在本章中，我们将很少关注人或分子的集合，更多关注有关数学对象的集合.

例1.1 区间[0，1]上所有连续函数组成的集合.

例1.2 直线x+y-2=0上所有点组成的集合.(www.daowen.com)

例1.3 小于20的自然数组成的所有集合的集合.

定义1.1 由有限个元素组成的集合称为有限集.不是有限集的集合称为无限集.

上面例1.1和例1.2中的集合都是无限集，例1.3中的集合是有限集.