以求解浓度为c mol/L的任意一元弱酸溶液pH值为例，该类溶液都可以根据弱酸的解离方程、水溶液质子平衡、水的离解常数等化学平衡知识，经过推导，将氢离子浓度x表达为如下方程：

x3+Kax2-(Kac+Kw)x-KaKw=0

其中Ka是一元弱酸的电离常数，对给定的酸是固定值，Kw是水的电离常数，值为10-14。

可见，基于化学理论的推导，化学问题可转换为一个数学问题。这是一个关于x的非线性方程，在两维空间中可以表达为一条曲线，而曲线与横轴的交点就是方程的根。

此类问题的求解，可参见图3.2.1。由于f（x）连续，如果找到两个点a，b，使得f（a）×f（b）<0，则可以断定，函数在[a，b]中必定存在一个根。在此基础上，如果找到一种办法，不断缩小这个区间，并且始终保持f（a）×f（b）<0，当a和b无限接近时，则认为找到了解。

快速缩小区间的一种办法是取a、b中点m，判别f（m）与f（a）是否同号，若同号，则令a=m，否则令b=m，从而将区间缩小为原来的一半。将该过程一直进行下去即可求解，该方法被称为二分法。

图3.2.1　非线性方程的求解图示

程序：二分求醋酸浓度

【例3.2.3】 已知醋酸的Ka为10-4.56，0.01 mol/L的醋酸溶液的氢离子方程为：

x3+10-4.56x2-(10-4.56×0.01+10-14)x-10-4.56×10-14=0

求解算法可以描述为：

上述算法转化为Python程序如下：

上述程序中，为fa和fb赋值1，目的是让第一次循环成立。为了提高程序的可读性，代码书写遵循了原公式的表达，所以定义了Ka，Kw，c等变量。(www.daowen.com)

但上述代码中，有一些地方让人感觉非常烦琐，它们就是计算fa、fb和fm的语句。至少，在中学代数方程的学习中，我们已经学过了约简的概念，程序中可以这么做吗？这里暂时留下这个悬念，留待“归纳与抽象”一节中解释。

程序的运行结果为：

请输入醋酸浓度：0.01

请输入左区间：1

请输入右区间：10

请输入左区间：0.001

请输入右区间：1

请输入左区间：0.000001

请输入右区间：1

氢离子浓度为：0.000511216937082063

【例3.2.4】 求任意高次方程的解

例3.2.3中提供的代码只能求解固定的高次方程的根。有没有可能编写一段通用代码，可以求解任意的高次方程的根？答案是肯定的，它就是借助Python的eval函数。程序如下：

程序：求任意高次方程的根