第十五章介绍了宇宙早中期的演化，下面我们用经典的方法讨论宇宙中晚期的演化。根据宇宙学原理，宇宙是一个大尺度范围内物质分布均匀的球形。假设图17-1是宇宙在爆炸若干时间以后，宇宙最外层物质离开宇宙中心退行速度的示意图。m是宇宙此时最外层某星系的质量，该星系此时到宇宙中心的距离为R，R是此时宇宙的最大半径。v是此时该星系相对于宇宙中心O的退行速度。

图17-1

该星系这时的动能为mv2。假设该星系在距离宇宙中心无限远处的势能为0，这时宇宙总质量M的引力对该星系的势能为。假设该星系的总能量为E，则以下方程成立，

当E=0时，有

v称作“星系距离宇宙中心为R时的临界退行速度”。临界退行速度的意义是，如果星系的实际退行速度小于该速度，则宇宙会收缩；反之会不断澎胀。对于不同的R，有不同的v与之对应。在(17-2)式中，假设下列几种情况。

(1)宇宙最外层星系中任意质量为m的物体受到的引力和太阳表面的引力相同即有：其中，宇宙的总质量M=1.43×1053kg，不含暗物质和暗能量，太阳质量M0=1.98×1030kg，太阳半径r=6.95×105km。假设这时最外层星系受到宇宙总物质的引力与爆炸高温产生的斥力平衡，根据前式有：=1.49×1017(km)(约1.5×104光年，相当于银河系半径的1/3)代入(17-2)式，v=3.15×1011(m/s)，或，v=1.0×103c

即当宇宙最外层的引力场强度不小于太阳表面的引力场强度时，只要最外层星系的临界退行速度小于103倍光速，该星系的退行速度最终都将消耗殆尽，而由膨胀变成收缩，变成转向宇宙中心的运动。

将宇宙表面在爆炸初期的引力与爆炸高温产生的斥力平衡时刻设置为太阳表面的情况，是因为太阳表面有代表性。它的表面温度达到6000℃，中心达到2亿℃，而引力与排斥力是平衡的，因为太阳的大小是稳定的。(www.daowen.com)

(2)当R=1.0×1010光年时(即宇宙半径与现在的宇宙半径相当)，有v=7.15×108(m/s)，或，v=2.38c。即只要现在宇宙最外层星系的退行速度小于2.38倍光速，该星系的退行速度最终都将消耗殆尽而由膨胀变成收缩，变成转向宇宙中心的运动。

一般而言，宇宙的最大半径(1)和(2)两种情况是等价的，都是根据相同公式、相同数据得到的，其中一种情况成立，另一种情况必然成立。

在图17-1中，如果不是处于宇宙最外层的星系，其相对于宇宙中心O点的退行速度显然都小于最外层星系的退行速度，并且该处引力势能的绝对值大于宇宙最外层引力势能的绝对值。因此，只要宇宙最外层物质的总能量出现小于0的情况，则整个宇宙的总能量必然小于0。

以上分析说明宇宙膨胀终有穷期，最后的归宿就是在自身引力作用下耗尽所有爆炸时获得的动量，然后收缩，反演大爆炸时的情景，回复为大爆炸时的状态。

即使宇宙的总质量M再小三四个数量级，宇宙在大爆炸时获得的动能，仍然小于宇宙总质量产生的引力势能，最后仍然会收缩为大爆炸前的状态。在(1)、(2)两种情况中，其半径比为=5.04×105，增长了50万倍。其临界退行速度比为：=4.4×102，缩小了440倍，说明临界退行速度的变化小于宇宙半径的变化，并且两者的变化都是很大的。

这个结论很重要，它说明宇宙在爆炸初期外层的最大退行速度至少在100倍光速以上，深化了我们对哈勃公式V=Hr的理解。退行速度不但与距离有关，还与时间有关，随着时间的推移，星系的退行速度在宇宙总物质的引力作用下锐减。

上述结论是假设宇宙表面在爆炸初期，引力与爆炸高温产生的斥力平衡时和太阳表面相同的情况下得到的。如果将宇宙表面在爆炸初期，引力与爆炸高温产生的斥力平衡时设置为蓝色恒星表面的相同情况，蓝色恒星的半径比太阳大，得到的退行速度就会比上述结果小。这说明上述关于宇宙会从膨胀转变为收缩的结论是完全正确的。

(17-2)式的理论和实践意义在于，如果将不同的R代入(17-2)式，可以得到宇宙最外层在不同时期的退行速度。如果将目前观察到的，宇宙各个方向最外层星系的退行速度与相同距离的退行速度比较，可以得到比较准确的宇宙总质量M，也可以得到比较准确的宇宙最外层在不同时期的平均退行速度。如果将这一工作细化，逻辑上还可以得到星系退行速度和距离关系的宇宙演化的二级模型。

将这些不同时期的平均退行速度代入有关公式，还可以求出宇宙现在的年龄、半径和中心。