不同的第五公设说明欧氏几何平面、黎曼几何平面、罗氏几何平面具有不同的内禀性，欧氏平面、黎曼平面、罗氏平面是分别与欧氏空间、引力场空间和介质空间对应的几何空间。

数学平面空间的各向同性：若数学的任意二维空间中相同长度的线段有相同的数值，与在空间中的位置和方向无关，则该数学平面空间称作是各向同性的。数学空间的各向同性也称作“数学空间的均匀性”。

上述定义可以得到一个推论：各向同性的数学空间中，数轴上的单位长度“1”与在空间中的位置和方向无关。

根据数学空间各向同性的定义说明，欧氏几何、黎曼几何、罗氏几何平面都是各向同性的。三种几何平面中，坐标系数轴上的单位“1”，都与在空间中的位置和方向无关。即欧氏几何、黎曼几何、罗氏几何中的数和数轴有相同的内涵，互相等价。

另外，在欧氏几何、黎曼几何、罗氏几何中直线、直角、平角、周角、垂直、平行等概念都有相同的内涵。在欧氏几何、黎曼几何、罗氏几何中的“形”有相同的内涵。三种几何中的直角坐标系、极坐标系有相同的内涵，互相等价，黎曼几何、罗氏几何中虽然没有圆形，但是这两种几何中同样存在球面坐标。

数学是研究数和形的科学。在欧氏几何、黎曼几何、罗氏几何中数和形的概念相同，因此数学内涵相同，它们直线的概念相同，在逻辑上我们必须认为三者的数学空间都是平直的。

度规函数的物理意义：在黎曼平面或罗氏平面任一足够小的邻域内，总能找到一个欧几里得坐标系(x，y)，使坐标为(x，y)与(x+dx，y+dy)两点的距离ds满足勾股定理ds2=dx2+dy2。如果我们选择其他任意坐标系(x′，y′)，坐标系(x，y)和(x′，y′)的关系由函数x=x(x′，y′)和y=y(x′，y′)确定。于是，点(x′，y′)与点(x′+dx′，y+dy′)之间的距离为ds2=g11dx′2+2g12dx′dy′+g22dy′2。其中，g11、g12、g22高斯称作度规函数。它表征了观察者的立场，从本质上讲，度规函数就是观察者站在欧氏平面的立场，将欧氏平面作为标准与非欧平面比较，得到两者的内禀性的差异。(www.daowen.com)

与上述论述相仿。在欧氏平面任一足够小的邻域内，总能找到一个黎曼或罗氏坐标系(x′，y′)。使坐标为(x′，y′)与(x′+dx′，y′+dy′)两点的距离ds满足勾股定理。在黎曼几何或罗氏几何中勾股定理同样成立，并且在足够小的邻域内黎曼平面或罗氏平面中的三角形内角和都已经趋于180°，与欧氏平面的三角形完全没有区别，

如果我们选择欧氏坐标系(x，y)，坐标系(x，y)和(x′，y′)的关系由函数x′=x′(x，y)和y′=y′(x，y)确定。于是，点(x，y)与点(x+dx，y+dy)之间的距离为ds2=g′11dx2+2g′12dxdy+g′22dy2。其中，g′11、g′12、g′22称作欧氏平面对非欧平面的逆度规函数。它同样表征了观察者的立场。逆度规函数就是站在非欧平面的立场，将非欧平面作为标准与欧氏平面比较，得到两者的内禀性关系。度规函数与逆度规函数有相似性，它们满足对称性原理。

以上分析说明，三种几何平面的不同仅是内禀性不同。如果观察者站在各自所在空间的立场，三种空间都是平直的、均匀的。

另一方面，欧氏几何、黎曼几何、罗氏几何是用相同的数学概念研究对应平面的数学性质。即是用相同的几何概念研究欧氏、黎曼、罗氏数学平面性质的几何学。三种几何学本身与数学空间的类型无关，即数学本身与数学空间的类型无关。

物理的欧氏空间、引力场空间和介质空间分别与欧氏几何、黎曼几何、罗氏几何对应，说明物理的欧氏空间、引力场空间和介质空间的任意平面性质分别满足欧氏几何、黎曼几何、罗氏几何。数学本身同样与物理空间类型无关。