如图4-2，光源S在y轴的正方向遥远某处，PO是S发出的其中一条光线。观察者A以速度v沿著AB方向交PO于B，AB与x轴的交角为β，且

≥β≥0，x轴是与光线传播方向PO垂直的方向。相对于光源S发出的频率为ω′、波长为λ′的光，观察者接收到的频率、光行差是多少呢?

图4-2

由于光源与观察者的距离都非常远，在图4-2中，光源发出的球面波在到达AO附近时，变成了与AO平行的波阵面(AO在x轴上)。并且，所有波阵面均以λ′为间隔均匀地分布在直线PO上。因此，观察者在A点，接收到的光子与O点同属一个波阵面；并且，根据光速公理有ω′λ′=c，假设DO=c，即到达O点的光子，单位时间前在D点的位置。观察者在B点接收到的光子，一秒钟前在什么位置呢?假设其所在的波阵面在P点。根据光速公理，有PB=ω′λ′=c。前面已经说明，观察者在A点接收到的光子，是与O点同属一个波阵面的波包，单位时间后观察者在B点接收到的，是从P点传来的光子。因此，观察者在单位时间内将接收到分布在PO这段距离上的全部波阵面。根据前面的假设，DO=PB=c，BO=vsinβ，且PO=PB+BO。PB上分布的光子数为ω′，BO上分布的光子数为因此观察者在单位时间内接收到的光子数为：

即观察者接收到的频率为：

观察者这时接收到的波长是多少呢?在y方向，观察者的分速度为BO=vsinβ。即观察者在单位时间向光源方向运动了BO=vsinβ距离，在间向光源靠近了vsinβ距离，在1/ω的时间内向光源靠近了vsinβ/ω距离，观察者接收到两个光子之间的距离相对“缩短”光源发射的波长为λ′，观察者接收到的波长是：

所以

公式(4-12)和(4-13)称作“斜向多普勒公式”。并且有：

(4-14)式说明在图4-2的情况下“光速定理”同样成立。根据前面的分析，PB是光子相对于光源的速度C′=c，光源与观察者的相对速度为BA=v。连接PA，根据矢量加法，有：

另一方面，观察者A认为，自己在A点接收到的光子，一秒钟前在P点，P→A就是光子速度。因此(4-15)式说明在图4-2的情况下“光子速度定理”仍然成立。

在这种情况下的光行差是多少呢?前面分析说明，当观察者在A点时，该时刻位于AP一条线的光子，在观察者从A向B运动的过程中，将悉数被观察者接收。AP方向就是观察者看到的光源视位置方向，OP为光源的实际位置方向。设α=∠APO，有由于：

所以

(4-16)式称作“斜向光行差公式”。其中，根据假设，

讨论：

(1)当v远小于c时，vsinβ和vcosβ比光速c更小，因此tgα可以α代替。公式(4-16)可以写作：

(2)当v＞c且β很小时，vcosβ可以大于c+vsinβ，即tgα可以大于1，α可以大于

(3)当β=0时，即图4-1的情况。

(4)当，tgα=0即第二章中观察者和光源之间的相对运动与其连线方向相同时的情况。

二、当观察者与光源相对速度的方向和垂直于光传播方向的夹角β，满足条件时

这种情况下，图4-2变成图4-3：

图4-3中，AB=v，AB的方向是观察者相对于光源的运动方向，AB与x轴正方向的夹角为β，且-≤β≤0。假设PB=c，是光子相对于光源在单位

图4-3

时间所走的路程，OP是光源方向也是y轴的正方向，AO即x轴，是与光的传播方向PB垂直的方向。与前面的设定相同，由于观察者离光源很远，光源发出的频率为ω′单色光，在其球面波到达AO时，波阵面均与AO平行。所有波阵面均以λ′为间隔，均匀地平行于直线AO。观察者在A点接收到的光子假设一秒钟前在E点，则EA=c。假设ED⊥PB，又因为AO⊥PB，A与O，E与D则在同一时刻分别属于同一个波阵面，因此DO=c。观察者以速度v在一秒钟后到达B点，观察者在B点接收到的光子，一秒钟前在什么位置呢?假设在P点。根据光速公理，有PB=ω′λ′=c。根据假设，AB是观察者在单位时间的运动距离v，是AB与x轴的交角，由于β＜0，因此：

表明观察者在y轴的分速度与光的传播方向相同，都是指向y轴的负方向。说明观察者在y方向的分运动将“拉长”光子之间的距离，使自己与光子的相对速度变小，观察者接收到两个相邻光子的时间间隔将变长。假设光源发射两个光子的间隔为Δt′，观察者接收到的间隔时间为Δt，由于观察者在y方向以速度vsinβ离开光源，观察者接收到两个光子的时间间隔将比光源发射的时间间隔增加

而观察者接收到两个相邻光子的时间间隔为：观察者接收到的光的频率为：

观察者在y方向和光源以速度vsinβ互相背离，即光源在时间离开了观察者vsinβ距离，即在1/ω′时间二者增加了vsinβ/ω′距离，即观察者接收到两个光子之间的距离相对“增长”了光源发射的波长为λ′，观察者接收到的波长是：(www.daowen.com)

公式(4-18)和(4-19)是当时的多普勒公式，同样称作“斜向多普勒公式”。当β=0时，即观察者运动方向与光线垂直时，图4-2和图4-3还原为图4-1的情况时，(4-12)式与(4-18)式相同，均为：

(4-20)式与(4-7)式完全相同。这说明以上的结论自洽。

(4-20)与(4-7)式还说明，不存在横向多普勒效应。横向多普勒效应是狭义相对论预言的一种多普勒效应。当β=0时，即观察者运动方向与接收光线垂直时，仍然存在多普勒效应，其表达式为其实是否存在横向多普勒效应，我们可以利用太阳光检验。在地球上的任何一个观察者，都可以在地方时正午时刻利用太阳光检验太阳光谱是否存在频移。因为这时观察者所在位置的地球公转方向与太阳光的传播方向始终是垂直的，符合横向多普勒效应的条件；并且地球公转速度为30km/s，这个速度比其他检验横向多普勒效应的实验速度还要大。

根据公式(4-18)和(4-19)有：

(4-21)式说明在图4-3的情况下“光速定理”仍然成立。

根据前面的分析，PB是光子相对于光源的速度C′=c，光源相对于观察者速度为BA=v。连接PA，根据矢量加法，PA就是观察者A接收到的光子速度。并且有：

(4-22)式说明在图4-3的情况下“光子速度定理”仍然成立。

在图4-3情况下的光行差是多少呢?根据前面的分析和矢量加法，当观察者在A点时，该时刻位于AP一条线的光子，在观察者从A向B运动的过程中，将悉数被观察者接收。因此，AP的方向就是光源的视位置方向，OP为光源实际位置方向。设α=∠APO，有tgαAO=vcosβ PO=PB-OB=c-｜vsinβ｜

所以

(4-23)与(4-16)式的形式相同，但是分母的后面一项不同。(4-16)式中分母值一定大于、等于c，即c+vsinβ≥c；而(4-23)式中分母值一定小于等于c，即c-v｜sinβ｜≤c。

若c远大于v，则(4-23)式分母中v｜sinβ｜可以忽略，并且tgα值很小，因此这时公式(4-23)可以表示为(4-17)式：即与(4-17)式完全相同。一般而言，银河系内的天体(主要是恒星)相对于我们的速度都很小，在计量河内天体的光行差时，无论该天体是向我们靠近或退行，都可以用公式(4-17)。

在(4-23)式中，当v＞c且｜vsinβ=c｜时，公式没有数学意义但有物理意义。其物理意义是BO=BP，即表示P点与O点重合，即AP与x轴重合，即这时对观察者而言，光源的视位置位于x轴的正前方，光源的实际位置与视位置相差为避免出现｜vsinβ=c｜时公式没有数学意义的情况，公式(4-23)可以表示为：

(4-24)式与(4-23)同解，意义完全相同。

当v＞c且β接近即光源视位置在x轴的正方向；如果c-｜vsinβ｜＜0，表示P点在x轴下方，即观察者将观察到光源的视位置方向AP在x轴的下方，如图4-4。

图4-4

图中，AB=v(v＞c)，PB=c。∠OAB=β＜0，OB=vsinβ，值小于0而绝对值大于c。∠APO=α，tgα＜0，即

α＞表明光源的视位置在x轴的下方。说明观察者接收到的光子速度方向发生了反转，即光源的方向反转。本来，光子相对于光源的光子速度为C=-c，方向指向y轴的负方向；而观察者接收到的光子速度在y轴方向的分速度为正，方向指向y轴的正方向。这就是光子速度反转的物理意义。说明只要物质速度没有小于光速的限制，光子速度就与其他矢量一样，其结果也没有限制。

若，即ω＞ω′接收谱线出现紫移时，使用公式(4-12)：ω=

多普勒频移为：由于宇宙膨胀不满足(4-25)式，出现谱线紫移的天体不多。就星系而言，目前仅发现仙女座大星云等少数星系在向我们靠近。

若≤β≤0，即ω＜ω′接收谱线出现红移时，使用公式(4-18)：ω=多普勒频移为：

宇宙膨胀满足(4-26)式的天体非常普遍。从(4-26)式可以看出，当v＞c且β接近时，红移Z的值可以大于1。如果v数倍于c，则Z的值也可以数倍于1。另一方面，如果天体的红移Z大于1，则该天体相对于我们的退行速度一定大于光速c。

公式(4-12)、(4-13)、(4-18)、(4-19)是经过严格演绎得到的，它们都属于多普勒定理，都称作斜向多普勒公式。公式(4-25)、(4-26)称作斜向多普勒红移公式。

公式(4-12)、(4-13)、(4-18)、(4-19)中，如果将公式中的vsinβ看作观察者和光源在光传播方向的分速度vr，则公式(4-12)、(4-13)、(4-18)、(4-19)和公式(2-1)、(2-2)、(2-4)、(2-3)有完全相同的形式和内容。这说明，斜向多普勒公式只与观察者和光源在光传播方向的分速度vsinβ有关，与观察者和光源在垂直于光传播方向的分速度vcosβ无关。如果不知道观察者和光源是否存在横向的相对速度，可以直接用v代替公式中的vsinβ，得到的关于多普勒效应结果完全相同。

任意方向的光行差归纳如下：

若≥β≥0，即ω＞ω′接收谱线出现紫移时，使用公式(4-16)tgα

若c远大于v，公式(4-17)

若≤β≤0，即ω＜ω′接收谱线出现红移时，使用公式(4-23)tgα=若v＞c且β接近

图4-2、图4-3和图4-4都是平面图，图中的速度v，即AB的变化角度为包含了正弦余弦整个周期的值，代表了v在2π的变化；另一方面，速度v即AB还可以围绕y轴作2π的变化。其示意图都可以用图4-2、图4-3或图4-4表示。图4-2、图4-3和图4-4虽然都是平面图，实际上代表了观察者和光源关系所有三维的情况。这一节讨论的几种情况代表了所有方向的光行差和多普勒效应。另外，我们必须明确和记住上述公式中β的意义和定义域，即当接收频率大于本征频率或接收波长小于本征波长时，使用图4-2情况的公式；当接收频率小于本征频率或接收波长大于本征波长时，使用图4-3或图4-4情况的公式。

上述分析说明，当光源与观察者相对速度的方向和光传播方向不一致时，“多普勒公式”同样成立，“光速定理”和“光子速度定理”也同样成立。