假定｛Ui，Xi，Yi，i=1，…，N｝是独立同分布的随机样本，其中N是潜在的样本量。在随机截断的情况下，（U，X，Y）的观察值受另一个截断变量T的干扰，当且仅当Y≥T时四个量U，X，Y和T可观察。当Y＜T，一些变量的值观察不到。假定截断变量T与（U，X，Y）独立。

由于截断的发生，N是未知的，实际观察的样本量n是随机的且n≤N。为了方便起见，我们记观察的样本为｛Ui，Xi，Yi，i=1，…，n｝且Yi≥Ti。令P是与N样本相关的概率测度，而P是与n样本相关的概率测度。E和E分别是对应于P和P的期望。定义F（y）=P（Y≤y），G（t）=P（T≤t），F（u，x，y）=P（U≤u，X≤x，Y≤y），aF=inf｛y：F（y）＞0｝和bF=sup｛y：F（y）＜1｝，其中（aF，bF）是Y的范围。对分布函数G，aG和bG可类似定义。令θ=P（Y≥T）表示反应变量Y可观察的概率。因为θ=0表示没有数据可观察，故在本章中假定θ＞0。

在这一节，记带上标*的分布函数表示与截断随机变量相关的分布函数。因为T与（U，X，Y）独立，故（U，X，Y，T）的联合分布函数为

其中v∧t=min（v，t）。取t=+∞，（U，X，Y）的分布函数为F*（·，·，·）：(www.daowen.com)

F*（u，x，y）=H*（u，x，y，+∞）=由此得

注意到C（y）=P（T≤y≤Y｜Y≥T）=θ-1G（y）｛1-F（y-）｝。C（y）的经验估计量定义为Cn（y）=。利用Lynden-Bell（1971）的结论，F和G的非参数极大似然估计量是下列的乘积限估计量

基于上述结论，F（u，x，y）的非参数估计量为：