令ρτ（u）=u[τ-I（u＜0）]是分位数损失函数且τ∈（0，1）。设

QY（τ｜X，W）=inf｛y：P（Y≤y｜X，W）≥τ｝

为给定变量X和W的条件下Y的τ条件分位数。因为

FY｜X，W｛QY（τ｜X，W）｜X，W｝=τ，

部分线性模型（4.0.1）中Y的τ条件分位数可表示为

当数据没有截断且gτ（·）是已知的，模型（4.1.5）中的βτ的分位数估计量是下列函数的最小值

它的积分形式为

其中是｛（Xi，Yi，Wi），1≤i≤N｝的经验分布。在左截断情形下，用（4.1.4）中的Fn（x，y，w）替换（4.1.6）中的，得

于是，通过使下列加权的分位数损失函数取最小值

可得（4.1.5）中βτ在左截断数据下的分位数估计量。注意到（4.1.8）包含未知的非参数部分gτ（·），它可由局部线性方法估计。当Wi在点w的某一邻域里，gτ（Wi）可由下列的局部线性方法逼近，即

gτ（Wi）≈gτ（w）+g′τ（w）（Wi-w）∶=aτ+bτ（Wi-w）。

于是（4.1.5）可表示为

接下来借助Kai等人（2011）中的三阶段估计方法。第一阶段，采用局部线性回归方法获得βτ和gτ（·）的初始的估计量，第二和第三阶段，进一步改进初始估计量βτ和gτ（·）的有效性。令是下列局部加权分位数损失函数的最小值

其中Kh（·）=K（·/h）/h是一个核函数K（·），h是窗宽。记=，我们取作为初始估计量。

给定（X，W）=（x，w），令和分别表示ε的条件分布函数和条件密度函数。再令(www.daowen.com)

μj=∫ujK（u）du且νj=∫ujK2（u）du，j=0，1，2，…。

定理4.1.1　假设4.4节中条件（C1）—（C6）成立，若h→0，且nh→∞，则

其中C2（w）=E｛fε（0｜X，W）（1，XT）T（1，XT）｜W=w｝，D2（w）=。

注4.1.1　定理4.1.1表明是一个相合估计量。这是因为我们仅使用了在w的局部邻域里的数据去估计βτ。

基于初始估计量，可以进一步改进，通过下式获得βτ的一个新的估计量

令δ（x，w）=，对任意一个矩阵H，H⊗2=HHT。

定理4.1.2　假设4.4节中条件（C1）—（C6）成立，若nh4→0，且nh2/log（1/h）→∞，则

其中A=E｛fε（0｜X，W）X⊗2｝，B=，=X-δ（X，W）。

定理4.1.2给出了的一个相合估计量。进一步，基于，可改进的有效性。为此，令是下列函数的最小值

定义。

定理4.1.3　假设4.4节中条件（C1）—（C6）成立，若h→0，且nh→∞，则

其中C3（w）=E｛fε（0｜X，W）｜W=w｝。

注4.1.2　定理4.1.3表明和一样，有相同的条件渐近偏差，但比的条件渐近方差小。因此，比有效。