令｛（Xi，Yi，Wi，Ti），1≤i≤N｝是来自（X，Y，W，T）的一列独立同分布的随机样本，N是潜在的样本容量。假定T与（X，Y，W）是独立的。由于截断的发生，N是未知的。n是实际观察到的样本容量且n≤N。为了方便，记｛（Xi，Yi，Wi，Ti），1≤i≤n｝为实际观察到的样本且Yi≥Ti。假定与N样本对应的概率测度和数学期望分别为P和E，与n样本对应的概率测度和数学期望分别为P和E。定义F（y）=P（Y≤y），G（t）=P（T≤t），F（x，y，w）=P（X≤x，Y≤y，W≤w）。（aF，bF）是Y的范围且aF=inf｛y：F（y）＞0｝，bF=sup｛y：F（y）＜1｝。aG和bG可类似定义。取θ=P（Y≥T）。由于θ=0意味着没有数据可观察到，因此在本章中，我们假定θ＞0。

以下，记带上标*的分布函数代表截断随机变量的分布函数。由于T与（X，Y，W）独立，（X，Y，W，T）的联合分布为

其中u∧t=min（u，t）。当t=+∞，（X，Y，W）的分布函数为F*（·，·，·），其中

由上式，可得

记

其中F（m-）是F在点m的左极限。(www.daowen.com)

由He和Yang（2003）知，F*（x，y，w），F*（y）和G*（t）可以分别用它们的经验分布函数来估计，即

令C（y）=P（T≤y≤Y｜Y≥T）=θ-1G（y）｛1-F（y-）｝。C（y）的经验估计量定义为Cn（y）=。根据Lynden-Bell （1971）的结果，F和G的非参数极大似然估计量为

故可得θ的估计为

文献He和Yang（1998）证明了θn不依赖y且它的值可由任何一个满足Cn（y）≠0的y获得。

基于以上结论，F（x，y，w）的非参数估计量为