在证明定理之前,先列出一些常规的条件,这些条件已被Zheng(1996),Fan等人(2013)和Niu等人(2016)使用过。
(C1)K(u)是对称的概率密度函数,有紧支撑。窗宽h满足nh3/2→∞且h→0。
(C2)G(·,θ),g1(·)和g2(·)满足一阶Lipschitz条件。
(C3)变量T有一个有界的支撑T,它的密度函数p(t)有连续的二阶导数且0<c1≤p(t)≤c2<∞。
(C4)Δt(t)几乎处处具有有界的二阶导数且inftΔt(t)>0。
(C5)sup E(ε4|X=x,T=t)<∞,E‖X‖4<∞且E‖η‖4<∞。
(C6)Γ=E[Δ(X,T)(X-g1(T))(X-g1(T))T]是正定矩阵。
(C7)测量误差η独立同分布,其均值为0,协方差阵Ση已知,且与(X,T,ε)独立。
(C8)反应变量Y是随机缺失的,即在给定W和T的条件下,δ与Y条件独立。
引理3.3.1 (Zheng(1996);引理3.2)设是独立同分布的随机变量序列,Hn(zi,zj)是一个对称的函数,且有
假设E[Hn(z1,z2)|z1]=0,a.s.且对每一个n,<∞。若
则当n→∞时,。
引理3.3.2 假设条件(C1)—(C6)成立。则当n→∞,有
证明 由wi的定义,可得
由Markov's不等式,可得0,且。引理3.3.2得证。
引理3.3.3 若条件(C1)—(C6)成立,则
证明 在原假设下,易得
类似地,在备择假设下,有
因此,引理3.3.3可证。
引理3.3.4 (Niu et al.,2016)在条件(C1)—(C6)和原假设(3.0.3)下,有
其中U可以是X或T,M(·)是连续可微的,‖M(·)‖≤b(·)且E{b2(·)}<∞。
引理3.3.5 若条件(C1)—(C6)成立,则在原假设(3.0.3)下
在局部备择假设(3.1.9)下
其中θ0是θ的真值,G′(T,θ0)=∂G(T,θ0)/∂θ且Γ1=E{G′(T,θ0)G′(T,θ0)T}。
证明 基于(3.1.4),可得
根据Γ1的定义,可推出
在原假设下,
对In1变形,可得
注意到。
结合Xu等人(2012)中引理2的证明方法,有(www.daowen.com)
其中
类似的,In12=。
由上述结果可得
局部备择假设下的证明是类似的,这里略去。引理3.3.5得证。
定理3.1.1的证明 在原假设下,且注意到,Vn可被分解为
Vn1可写作U统计量的形式
其中zi=(δi,yi,,ti),i=1,…,n。{zi}是独立同分布的样本。在原假设下,由于E[Hn(z1,z2)|z1]=0,Vn1是一个退化的统计量。类似于Zheng(1996)中的引理3.3a的证明过程,可得
对Vn2,有
引理3.3.3和引理3.3.4表明:且Vn21=。因此,可得
与文献Liang等人(1999)中的引理A.6类似,有
因此,可得
对Vn4,有
其中在与θ0之间。由引理3.3.4和3.3.5,可得
类似,易得=op(1),k=5,…,10。基于上述结果,可推出
基于U统计量理论,接下来证明的相合性。由的定义和(3.3.2)—(3.3.5)及引理3.3.1,可得
由条件(C1)和(C5),可推出
根据U统计量理论和引理3.3.1,可得
同理可证Ln的渐近性,定理3.1.1得证。
定理3.1.2的证明 在局部备择假设(3.1.9)下,且注意到ei=anH(ti)+ξi,Vn可被分解为
对Sn1,它可被分为
类似(3.3.2),可得。
由引理3.3.4,我们发现Sn1,2=且Sn1,3=+op(1)。因此,当an=,有
其中μ1,1=。对Sn2,我们有
由引理3.3.4,发现Sn2,1=Op(1),Sn2,2=,Sn2,3=。与文献Liang等人(1999)中的引理A.6的证明类似,可推出
于是由引理3.3.3,当an=,可得
由引理3.3.5,在备择假设下,可得[G′(T,θ0)H(T)]。因此,
对Sn3,在局部备择假设下,通过一些计算,可得
其中和在和θ0之间。根据引理3.3.4,可得Sn3,1=Op(1),Sn3,2=,Sn3,3=Op(1),Sn3,4=,Sn3,6=G′(T,θ0)G′(T,θ0)T}。与文献Liang等人(1999)中的引理A.6的证明类似,可得Sn3,5=。于是,在局部备择假设下,可得
因此,结合(3.3.6)—(3.3.9),在局部备择假设(3.1.9)下,我们有。Ln的渐近性类似可得,定理3.1.2得证。
免责声明:以上内容源自网络,版权归原作者所有,如有侵犯您的原创版权请告知,我们将尽快删除相关内容。