为了方便起见，令Z是标准正态随机变量，C是一个正的常数，在不同的地方可以表示不同的值。

引理2.5.1　经验对数似然比函数是θ的上凸函数。

证明　，其中0q是一个q×1的零向量，“′”表示关于θ的导数，则

进一步，由（2.1.5）—（2.1.6），有

对方程（2.1.6）关于θ求导，得

于是，得

故η′q+1（θ）＜0，=nη′q+1（θ）＜0，引理2.5.1得证。

令ΓAI=，Γ1=E｛A（X）AT（X）｝，Γ2=E｛A（X）（m（X）-θ）｝，ΓA=E｛σ2（X）/p（X）｝+Var（m（X）），σ2（x）=。

引理2.5.2　假定条件（C1）—（C8）成立。若θ是Y的真实均值，则

证明　引理2.5.2的证明见Xue（2009）中定理2的证明。

引理2.5.3　假定条件（C1）—（C8）成立。若θ是Y的真实均值，则

其中是θ的最大经验似然估计量，，Γ的定义见定理2.2.2。

证明：首先，证明成立。令，其中是一个q维的列向量。注意到和满足如下三个方程

Qkn（θ，η）=0，k=1，2，3

其中

在（θ，0）点展开=0，k=1，2，3，可得

其中εn=。

进一步，由于

其中

由Xue（2009）中的引理4，有。运用大数定律，得

于是

因此，可得

由引理2.5.2得

结合（2.5.1）得。

由Xue（2009）中的引理3，，结合 N（0，Γ），得。

引理2.5.4　假设θ*是Y的真实均值。假设原假设和条件（C1）-（C8）成立，若E‖A（X）‖3＜∞，＜∞且ΓA＞0，则

证明　仅证明真实均值θ*是θ1的情况。因为真实均值θ*是θ2的证明类似可得。

对任意的θ，记，=θ1+n-1/3。

首先，证明=Op（n-1/3）。令=ρu，其中ρ≥0，u∈Rq+1且‖u‖=1，

mineig（S）表示S的最小的特征值，0q是q×1的零向量。由引理2.5.2和（2.1.6），有

于是有

由Xue（2009）中的引理3可得

注意到｛，1≤i≤n｝是独立同分布的，且

于是E‖‖3＜∞。由Owen（1990）的引理3的证明，可推出

由=Op（n-1/2）和引理2.5.2，可得(www.daowen.com)

ρ[mineig（S）+op（1）]=Op（n-1/3）。

因为ΓAI是一个正定矩阵且，C+op（1）≤mineig（S）≤C+op（1）。故

由（2.1.6），可得

由=Op（n-1/3）和=op（n1/3），可推出

结合（2.5.2），得

通过泰勒展开，利用（2.5.3），对｛，1≤i≤n｝使用重对数律，依概率有

与=Op（n-1/3）的证明类似，对真实均值θ1，有η（θ1）=Op（n-1/2），则

由的下凹性，依概率有

因此

故当θ*=θ1时，引理2.5.4成立。

定理2.2.1的证明　由引理2.5.1得在R上有唯一的最大值。结合引理2.5.3得

因此，得

由引理2.5.3和=0，有=0。由=n-1+Op（n-3/2），可得

与引理2.5.4中关于的证明类似，在原假设H0下，有

其中Γn，AI=且Γn=，Γn1=，Γn2=。

注意到，结合引理2.5.2，对任意t＞0，有

因此，P｛T01≤t｝=1-，T01，定理2.2.1得证。

定理2.2.2的证明　对真实的均值θ*=θ0+依然成立。由引理2.5.2，可得

定理2.2.2得证。

定理2.2.3的证明　由（2.5.4），有

与定理2.2.1的证明类似，可得

因此，=α。对任意固定的真实均值θ*＞θ0，

由，有

定理2.2.3得证。

定理2.2.4的证明　假设真实均值θ*是θ1。由引理2.5.1，有

记。由引理2.5.4和（2.5.5），得

由引理2.5.3，有

由定理2.2.1，可得

故当θ*=θ1时，结论成立。当θ*=θ2时，类似可得。

定理2.2.5的证明 由（2.5.5），记

当θ1＜θ*＜θ2，有→-∞，→+∞，因此，由引理2.5.3，可得

若θ*=θ1，→0；若θ*=θ2，→0。由定理2.2.1的证明，可得

因此，=α。定理2.2.5得证。