在这一节，考虑如下两个假设检验问题

H0：θ=θ0 vs H1-H0：θ＞θ0；

H1：θ≥θ0 vs H2-H1：θ＜θ0。

假设H0：θ=θ0 vs H1-H0：θ＞θ0是检查真实的均值是否在参数空间的边界上，而假设H1：θ≥θ0 vs H2-H1：θ＜θ0是一个经典的单边假设检验问题。

对检验问题“H0：θ=θ0 vs H1-H0：θ＞θ0”，对应的经验对数似然比检验统计量定义为

定理2.2.1　假定原假设H0和条件（C1）-（C8）成立，则

其中是一个在点1处概率为1的退化随机变量。

根据定理2.2.1，给定α，当T01≥cα，拒绝H0，其中cα由=α决定。根据定理2.2.1的证明，易得cα=。

其次，考虑当θ在θ0的Op（n-1/2）范围内，T01的功效。下面的定理给出检验统计量T01的局部功效。为方便起见，令Γ=ΓA-ΓB，ΓA=E｛σ2（X）/p（X）｝+Var（m（X）），ΓB=E[A（X）（m（X）-θ）]T[E｛A（X）AT（X）｝]-1E[A（X）（m（X）-θ）]和σ2（x）=。

定理2.2.2　假设条件（C1）—（C8）成立。如果对某个τ≥0，真实均值θ*=θ0+τn-1/2Γ1/2∈Ω1，则经验对数似然比的渐近局部功效为

其中Φ（·）是标准正态分布函数，pχ（·）和Fχ（·）分别是的概率密度函数和分布函数。显然，渐近局部功效函数是τ的一个递增函数。

注2.2.1　（a）如果没有辅助信息（2.1.3），则退化为，此时q=0且定理2.2.1成立。同时，T01的渐近局部功效变成，这比带有辅助信息的T01的渐近功效低。实际上，由定理2.2.2的证明，可得(www.daowen.com)

这表明带辅助信息的检验统计量比没有辅助信息的检验统计量更有效。

（b）当Y没有缺失且没有辅助信息时，定理2.2.1和定理2.2.2在q=0时成立且

Γ=E｛σ2（X）｝+Var｛m（X）｝=E｛Y-m（X）｝2+Var｛m（X）｝=Var（Y），

这与Chen和Shi（2011）中的定理2.1和定理2.2的结果一致。因此，定理2.2.1和定理2.2.2把Chen和Shi（2011）中的定理2.1和定理2.2从完全数据推广到带辅助信息且反应变量数据缺失的情况。其次，当关于X的辅助信息可获得且Y没有缺失，定理2.2.1和定理2.2.2仍然成立且ΓA=Var（Y）。

对检验“H1：θ≥θ0 vs H2-H1：θ＜θ0”，定义如下的经验对数似然比检验统计量

在原假设H1成立的条件下，T12的极限分布依赖真实均值θ*落在Ω1中的位置。T12在边界点的极限分布被用来确定拒绝域的临界值。进一步，给定水平α，若T12＞cα，则拒绝原假设H1。特别地，有如下结果。

定理2.2.3　假设条件（C1）—（C8）成立。对任意固定的真实均值θ*∈Ω1，我们有

注2.2.2　定理2.2.3表明θ0是H1的临界点。

类似定理2.2.2的证明，我们可获得检验统计量T12的局部功效如下。

推论2.2.1　假设条件（C1）—（C8）成立。对某个τ＞0，若真实均值θ*=θ0-τn-1/2Γ1/2，则

渐近局部功效函数是τ的一个递增函数。对任意固定的θ*＜θ0，=1。