（一）认识性成果

1.明确悟化是高效率学习教学的基石

教之道在于度，学之道在于悟。高效率的学习不仅仅是听得懂，更重要的是能够学以致用，为此就需要体验、反思和感悟。体验才能获得经验，才能获得数学的思维经验。感悟就是有所感触而领悟，没有主体深刻的悟，就不可能有数学知识与方法的灵活运用。学生中出现的“懂而不会”，实质上就是没有实现内化后认知的平衡，导致理解不透，不能抓住问题的实质，因而不能做到举一反三。学生六大核心数学素养的形成能力的培养，都离不开自身智力活动的内化。把书本上学到的知识内化为自己解决问题的策略与方法，才是解决学生听得懂课但做不来题的良药。

2.明确高效率数学学习的认知策略与元认知策略二者不可偏废

图11-2　数学学习策略总体结构

通过研究我们发现，高效率数学学习不仅受制于学生的学习方法、学习习惯，而且受到元认知策略的影响，高效率数学学习的高中生元认知策略水平高，他们对自己的数学学习能从整体上去把握，知道自己的优势与缺陷。在课堂学习中，他们常常会对自己的学习行为进行监控并不断调节，在解题过程中，他们注重审题，注意挖掘题目中隐藏的信息，始终盯着目标，不断调整自己的思维。在解题后，他们会对做对的题作进一步的反思，反思方法是否具有通适性，反思是否有更好的解法；对于做错了的题，他们会主动剖析错误根源，并通过收集整理错误，加批注告诫自己防范类似差错。因此，有意识地反思和根据学习成败情况而进行调控是影响高中生数学学习效果的关键因素。

3.明确提高数学学习效果的引擎是“问题与任务”

“问题”是数学学习的内部驱动器，是引导学生活动的方向标和指南针。如果问题意识没有充分形成，问题的价值没有得到充分的开发，学生的思维就不可能得到有效的、充分的训练。探索提升学生数学素养活动设计的有效性，必须高度关注如何发挥问题在活动中的引擎作用，选择好问题，利用好问题。

“任务”是数学学习的外部驱动源。在任务的驱动下，学生有选择地获取信息，在完成任务过程中互相传递和交换信息，完善认识结构，他们有自由的发挥空间，其不同的信息摄取量、不同的知识结构，可以产生不同的任务成果。

4.明确有效的学习需要组织多种形式的教学活动

多元智能理论认为，虽然每个人都同时拥有相对独立的九种智能，但是具体到每个个体身上表现则有所不同。每个个体都以不同的方式学习，表现不同的智能特点和智能组合．毫无疑问，如果我们忽略这些差异，坚持要所有的学生用同样的方法学习相同的内容，就破坏了多元智能理论的全部基础。多元智理论启发我们要组织多种形式的教学活动，使学生在活动中表现出多种智能，从而发现其优势智能为其提供适合的教育形式和教学内容，如表达能力、动手能力、人际交往能力等，这在学生未来的发展中是至关重要的。所以，提高学生数学学习效能，就必须正视差异，尊重差异，善待差异，追求教学方法的多元化和个性化，通过发挥不同智能活动各自在教育教学工作中的不同作用，创造适合每一个学生的教育，使每个学生都能得到最好的发展。

（二）操作性成果

1.构建了以“两反”为宏观指导的元认知学习策略体系

反思性学习策略：即对自身学习活动中所涉及的知识、方法、思路、策略进行反思，并根据评价调整和反思自己的数学学习方法，以不断加深学习的认知，提高数学学习效率的一种策略。

反思解题的过程：解题后的自查反思学生在学习过程中往往会出现粗心大意、不求甚解的毛病，这是部分学生错误率居高不下的一个主要因素。反思解题包括反思解题思路，是如何思考的，如何寻得解题突破口的？反思错误做法，我哪里做错了？为什么会错？以后如何避免错误？

反思数学思想方法：解题过程蕴藏了哪些数学思想方法，有哪种题也可以使用该解题策略？这是一种迁移反思，让学生找到一般解题规律。反思所用的解题方法正确吗？合理吗？方法是否简便，能否优化？这道题目能否进行变化或者引申，解题方法可以推广吗？在求解过程中运用了哪些数学思想方法？反思解题的挫折等等。(www.daowen.com)

反思一堂的学习：①这堂课的重点难点是什么？我学到了哪些知识？②我在本堂课的学习中有哪些感悟？③本堂课数学问题的解决用了什么数学方法？蕴含了怎样的数学思想？④我把整堂课知识都弄明白了吗？有不懂的地方吗？在做完一个数学题之后，学生往往忽视对所得结论的反思。其实有些错误是显而易见，甚至是一些非智力因素的错误。所以培养学生解题后的自查反思显得尤为重要。还有部分学生课上讲过的例题会做的，但是题目稍加变化，改头换面以后往往无从下手，不能做到触类旁通。我经常建议学生在解完一个数学题之后采用自我提问的方式来进行自查反思：我求解的每一步是否都是有理有据？结论合理吗？

单元结束后进行反思。一个单元的学习实际上给学生构建了一个知识体系，学生在学习的过程中会感悟到一定的数学思想方法。所以，在一个单元学习结束后，引导学生对所学内容进行显得尤为重要。此时的反思比之前的反思应当更加深入，可以对学习内容、学习方法、数学思想、学习态度、学习习惯等等进行反思。对于单元结束后的反思，可以围绕以下几个方面展开：①本单元学习了哪些数学知识？他们之间有何关系，与之前的单元有何联系，我能否列出本单元知识体系网络吗？②在本单元的学习中，我学到的数学方法有哪些？③这些数学方法蕴含了怎样的数学思想？④在本单元的学习过程中，我的学习态度如何？是否有懒惰的情况出现？⑤我还有不清楚的地方吗？采取怎么的补救措施？比如学习了立体几何单元后，学生可以反思整理出所有公理与定理，对这些定理的使用进行分类，而不是简单地按照书本顺序罗列出来。比如说，要证明两条直线平行，可以使用哪些定理？再比如说，拿几个定理掌握得不是很好，书写一直出错，使用不是很熟练？……同时对自己的学习态度进行一个反思？我是否积极主动？学习效率如何？学习方法是否需要改进？我还有哪些不足之处？反思的时候，学生可以看课本、笔记、作业，可以以学习小组的形式完成。坚持单元结束后进行反思，有助于帮助学生建立清晰的知识网络。

反馈性学习策略：是指在数学学习活动后，学习者根据学习目标客观地评价学习结果，根据学习结果的反馈对自己的学习采取补救性措施，完成学习活动的监控和调整，旨在提高数学学习效率的一项学习策略。主要有两种途径。

自我提问：针对计划的实施情况来提问，设定的学习计划都完成了吗？是在预订的学习时间内完成的吗？学习效果如何？需要作哪些调整？

自我点评：针对数学作业或测试中反映出的错误或问题，思考并点评自己的错误之处，以便有针对性地采取补救措施。这样可以加深对知识的理解，也能加深对错误的印象，减少犯错误的机会，同时，考前复习时，回头浏览那些简要的自我点评，提醒自己平时易犯哪些错误，哪些概念还是模糊的，哪类题型的解题方向是什么，也可实现数学效率的提高。

2.构建“三导一化”（导疑、导研、导思、悟化）课堂活动模式

这一模式的主要教学环节为：

图11-3

创境导疑，落实一个“激”字。所谓“激”，就是激发学生的学习动力，就是构建适当的认知差，引发学生的认知冲突，激发学生主动对学习材料产生疑问，从而激发强烈的求知欲望和探究热情，激活学生的思维状态。杨永清撰写的论文《摭谈导疑探究性活动中问题的来源、设置与利用》提出，问题应设计在学生的“最近发展区”内，由易到难、由浅入深、由正到反，能充分调动学生积极思维。具体有五种方法：创设悬念式问题情景，激发学生探究动机与兴趣；创设质疑式问题情景，激发学生的好奇心和未知欲；创设矛盾式问题情景，激发学生主动地探究问题；创设递进式问题情景，把学生的思维逐步引向深入；创设开放式问题情景，激活学生的思维状态。

深化导研，彰显一个“探”字。引导学生通过对已有认知结构无法包容的新问题、新现象进行分析、讨论、探索，在解决问题和发现规律中逐步实现知识与能力的增长，实现认知结构的同化与顺应。对学生遇到的障碍，教师指导他们自学课本，或组织大家展开讨论，或相机给予适时适度的指点引导，点明关键，拨明规律，帮助学生克服困难，顺利地展开探究思维活动。

变式导思，追求一个“活”字。在数学课堂教学活动中，原问题就是数学教育家波利亚所说的母蘑菇，问题变式化就是引导学生用变维（改变问题的维度）、变序（改变问题的条件、结论）等方法对典型问题进行变式探讨，使他们从不同的方面、不同的角度去思考问题，发现结论。变式化问题就是生长出的子蘑菇，它不仅有助于提高课堂效率，而且对促进学生数学素养的提升有神奇之效。一方面，变式探讨能让学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律；另一方面，通过一题多变的训练，能使学生的思维由狭窄变得广阔。在教学过程中，若能选择适合的例、习题，引导学生在求解的基础上借题发挥，对题目进行加工改造，形成系列变式问题链，既可使学生多维度地加强对知识的应用，又可多角度地启迪学生的思考，开拓解题思路，形成发散思维，提高学生分析问题的能力。

评价反思，促成一个“悟”字。课堂活动结束前的小结内容包括：这堂课的重点难点是什么？我学到了哪些知识？我在本堂课的学习中有哪些感悟？本堂课数学问题的解决用了什么数学方法？蕴含了怎样的数学思想？在一个单元学习结束后，此时的反思应当比之前的反思更加深入，可以对学习内容、学习方法、数学思想、学习态度、学习习惯等进行反思。单元结束后进行反思。一个单元的学习实际上给学生构建了一个知识体系，学生在学习的过程中会感悟到一定的数学思想方法。对于单元结束后的反思，可以围绕以下几个方面展开：①本单元学习了哪些数学知识？他们之间有何关系？与之前的单元有何联系？我能否列出本单元知识体系网络吗？②在本单元的学习中，我学到的数学方法有哪些？③这些数学方法蕴含了怎样的数学思想？④在本单元的学习过程中，我的学习态度如何？是否有懒惰的情况出现？⑤我还有不清楚的地方吗？应采取怎样的补救措施？比如学习了立体几何单元后，学生可以反思、整理出所有公理与定理，对这些定理的使用进行分类，而不是简单地按照书本顺序罗列出来。比如说，要证明两条直线平行，可以使用哪些定理？再比如说，哪几个定理掌握得不是很好，书写一直出错，使用不是很熟练？同时对自己的学习态度进行一个反思：我是否积极主动？学习效率如何？学习方法是否需要改进？我还有哪些不足之处？反思的时候，学生可以看课本、笔记、作业，可以以学习小组的形式完成。坚持单元结束后进行反思，有助于帮助学生建立清晰的知识网络。

3.构建“以问题解决”为载体的多元智能学习活动模式

“问题解决”作为逻辑—数学智能的要素之一，解决的问题包括建立数学模型、探究问题、选择解题策略、解答模型、验证和反思。每个阶段都能通过展示学生的多元智能进行教学。要在问题解决过程中提供学生用数学用语来表述问题的学习机会，培养学生的语言智能。通过小组讨论进行合作交流、探讨问题，培养人际关系智能；通过验证和反思培养自我认知智能等。要研究学生的差异，特别是要了解学生在智能上的类型、结构、倾向上的差异，针对差异采取不同的学习指导策略。例如，对于数学理解力偏弱的学生，应强化复述策略，重视精细加工策略，改善心境管理策略。对于非智力因素偏弱的学生，应强化监视策略，改善反思调节策略，优化时间管理策略。对于思维能力较强但学习不能“踩深水”的学生，应做好计划策略，充分利用反馈策略加强自我调节和自我控制，从而使学习由肤浅走向深入。