为分析EC⁃NMF 算法的更新规则式（3.17）、式（3.21）、式（3.25）的收敛性，本节首先给出以下定理：

定理3.1　对于给定的数据矩阵A（t＋1）及任意的初始值C（t＋1），U（t＋1），R（t＋1）≥0，本章所提出的交替迭代更新规则式（3.17）、式（3.21）、式（3.25）可使得目标函数式（3.12）的值单调下降。

为证明定理3.1，需要证明目标函数式（3.12）在提出的交替更新规则式（3.17）、式（3.21）和式（3.25）下为单调下降的。

因为只有目标函数（3.12）中的第一项与U（t＋1）有关，所以关于更新式（3.17）是单调下降的证明可参考文献［100］中的收敛性分析方法。具体证明过程参见文献［100］。下面将给出更新规则式（3.25）的收敛性分析。

定义3.3　当满足条件：Z（u，u′）≥J（u）和Z（u，u）＝J（u）时，Z（u，u′）为J（u）的一个辅助函数。

引理3.1　若Z 为J 的辅助函数，则函数J 在下面的更新式下为单调下降的，即

证明　J（ut＋1）≤Z（ut＋1，ut）≤Z（ut，ut）＝J（ut）

有待进一步说明的是，求解变量R（t＋1）的更新式（3.25），即等价于拥有合适辅助函数的更新式（3.26）。令(www.daowen.com)

鉴于算法是通过元素进行运算，由式（3.27）可得

和

引理3.2　下面函数

进而得到

定理3.1 的证明如下：

又由变量C（t＋1）和R（t＋1）的对称性，对更新式（3.21）可得到相同的结论。

综上，定理3.1 证明完毕。