模糊数学的创始人查德在研究无穷多值逻辑——模糊逻辑的基础上，创立了一套关于模糊集合的概念、运算等的理论，为描述和处理模糊现象找到了一个适当的数学方法。其一个重要的基础概念就是隶属度，即数值本身是模糊的，其取值范围可以从二值逻辑的真假两值扩大到［0，1］闭区间内的任意值，从而便于人们从模糊中求得较为符合客观真实的精确值，所以这套理论非常适用于描述元素属于某一集合的暧昧状态的现象。模糊集合在模糊语言学上的运用最为成功和典型。查德先给定某个模糊概念（比如老年人）的函数计算公式，然后将某个具体数字（如年龄）代入公式，最后得其对这一模糊概念的隶属度。如经过计算得出55岁对老年人的隶属度为0.5，60岁对老年人的隶属度为0.8，等等。

研究调式的隶属度问题首先要确立一个能够计算的量。我们知道音阶调式结构的形式实际上是由一系列的音程结构构成的，而最精确的用来标记音程值的计量单位是音分，所以我们可以利用音分值作为计算调式结构隶属度值的基本量。这里的关健问题是如何实现从音分量到调式量的转换。从例2中我们发现自然音阶中间主音不同调式结构之间的差异主要在于其主音上方四个大、小音程性质的不同，如按十二平均律计算。这些大音程和小音程的差别是100音分。但大量“苦音”调式的音程值是介于两个音程值之间的，所以仅用“是”与“否”来对某一分值是否属于某一音程做明确判定，实际是并不精确的。我们可以将某音分值是否属于某音程从二值逻辑的“是”与“否”两值扩大到模糊逻辑［0，1］中的任意值。具体计算公式如下：

比如一个所测音程值为324音分，它介于上方大三度与下方小三度的平均音程值之间，将其代入计算公式可得：

这样，我们不仅知道该音分值对小三度的隶属度大于其对大三度的隶属度，也知道了其具体的比例关系。下一步就是如何将音程的隶属度转化为调式的隶属度。

我们知道，每一种调式结构都是由4个关键音程所决定的，这四个音程共同决定了调式结构的性质。每一个音程性质的变化都会引起调式结构性质的改变，那么我们可以将构成某调式结构的4个关键音程的隶属度值相加再除以4求得平均值，以此作为该音阶对某调式结构的隶属度。我们用A、B、C、D分别代表二度、三度、六度和七度，用m代表大音程，n代表小音程，那么各调式结构的计算公式为：

下面我们首先对《梁秋燕》的测音结果进行计算分析：

该音阶对各调式的隶属度分别为：

可以看出这首曲子的商调式隶属度最高，这同前面提到的听觉试验结果和黎英海先生的分析记谱都是相吻合的，但徵调式的隶属度也仅次之。可以看出所有调式的隶属度中，角调式隶属度最小，这是因为如果《梁秋燕》为角调式的话，那就应该记为四个降号。但其C2到d2为213音分，d2根本不降。

下面是对姜夔先生和李武华先生的测音数据进行计算的结果。

秦腔《游西湖》“幽会”插曲：角≈0.21，羽≈0.46，商≈0.72，徵≈0.74，宫≈0.67

碗碗腔“东路”：

杨满元：角≈0.47，羽≈0.72，商≈0.87，徵≈0.67，宫≈0.53

张新怀：角≈0.46，羽≈0.70，商≈0.88，徵≈0.70，宫≈0.55

王风堂：角≈0.52，羽≈0.71，商≈0.79，徵≈0.64，宫≈0.49

焦志新：角≈0.30，羽≈0.55，商≈0.72，徵≈0.55，宫≈0.70

以上数据表明“苦音”的各种调式结构可能性之间不再是相互矛盾或排斥的，而只是隶属程度的大小不同而已。当然我们可以按照取最大值的原则来进行记谱和分析调式，但同时也不能否认它对其他调式结构同样有着不同程度的隶属度。由于测音采样的地域、曲目、演奏艺人等随机因素对所测“苦音”音分值起着关键性的影响，虽然上面的结果显示大多数情况下商调式的隶属度最大，但我们并不能由此而轻易认定它对整个“苦音”调式结构形态的分析都具有普遍性意义而得出一个以偏概全的主观性结论。

应该承认本文所提出的计算调式隶属度的方法本身是建构在以大小音程的性质为依据的、静态的心理调式结构基础之上的，至于音乐进行过程中旋律对其音级的强调以及偏音的位置等因素也还未计算进去，所以可能并不一定是最理想和最完善的方法，这些都有待于今后不断改造。本文的目的主要在于探索借用模糊逻辑的观点和方法，以帮助我们观察和分析民间音乐中类似“苦音”的调式结构问题这样一些朦胧、模糊现象的可行性。作为一种尝试，错误和疏漏在所难免，望专家同行批评指教。(www.daowen.com)

原载于《交响》1991年第4期。

【注释】

[1]缪天瑞.律学.北京：人民音乐出版社，1983.

[2]李武华.关于陕西民间燕乐音阶的音高测定及其他.中央音乐学院学报，1983（3）：13.

[3]这些谱例仍按黎英海先生书中原调号。

[4]董维松.从律学的角度再谈“苦音”的音阶及其调式.音乐研究，1987（1）：75.原文以F为主音进行统计，本文为同该例后面唱腔一致，改为C作主音。故调式类别也做相应调整。

[5]黎英海.汉族调式及其和声.上海：上海文艺出版社，1959：81.

[6]陈应时.也谈汉族调式问题／／音乐论丛第3辑.北京：人民音乐出版社，1963；陈应时.我对《梁秋燕》调式的看法.人民音乐，1962（10）：32.

[7]吕自强.《梁秋燕》一例是商调式还是徵调式.人民音乐，1962（2）：32.

[8]冯文慈.汉族音阶调式的历史记载和当前实际.中央音乐学院学报，1981（3）：6－18；黄翔鹏.中国传统音调的数理逻辑关系问题.中国音乐学，1986（3）：9－27.

[9]恩格斯.自然辩证法／／马克思、恩格斯选集：第3卷.北京：人民出版社，2012：335.

[10]王雨田.控制论、信息论、系统科学与哲学.北京：中国人民大学出版社，1986：161.

[11]周恩来.周恩来青年时代诗选.北京：人民文学出版社，1978：77.

[12]李汉松.西方心理学史.北京：北京师范大学出版社，1988：256.

[13]李汉松.西方心理学史.北京：北京师范大学出版社，1988：254.

[14]董维松.从律学的角度再谈“苦音”的音阶及其调式.音乐研究，1987（1）：75.