1）多次测量结果的随机误差估计

由于无法知道客观真值，那么也无法确定测量误差δi，也无从估算相应的标准误差σ。根据测量值的算术平均值是最近真值或最佳估计值，在实际估算误差的时候，可用测量值的算术平均值代替真值来估算误差，即该差值称为残差。对于有限测量次数n，当用残差来表示误差时，任意一次测量值的标准偏差用Sx表示为

对于有限多次测量，Sx是标准偏差的一个估计值。如果多次测量的随机误差遵从正态分布，那么，任意一次测量的随机误差在区间（－Sx，＋Sx）的可能性（概率）为68.3%。

n次测量的算术平均值的标准偏差为

由式（1-3-6）可知，算术平均值的标准偏差是n次测量中任意一次测量值标准偏差的Sx ＜Sx，因为算术平均值是测量结果的最佳估计值，比任意一次测量值更接近真值，误差更小。如果多次测量的随机误差遵从正态分布，那么真值处于区间的概率为68.3%。

增加测量次数n将变小。由于与n的平方根成反比，当n增加到一定值后，随之的减少程度就不太明显了。在实际测量工作中，并不是测量次数越多越好。因为增加n，测量时间必定要延长，这会对保持稳定的测量条件带来困难，同时也会引起观测者疲劳，从而引入新的误差。另外，增加测量次数n只能对降低随机误差有利，而与系统误差的减少无关。因此选取测量次数n的一般原则是：在随机误差较大的测量中要多测几次，一般实验取6～10次，科学实验可取10～20次；对于分散性小的一般测量，从效率考虑多数可以单次测量。

例1-2　计算例1-1中单次测量结果的标准偏差Sx，以及算术平均值的标准偏差

解　例1-1中任意单次测量结果的标准偏差为(www.daowen.com)

按算术平均值的标准偏差定义可得

一般情况下，为了避免计算引入的舍入误差，在计算过程中对中间计算量可取两位有效数字，而对最终的计算结果只取一位有效数字，且只入不舍。

2）多次测量值相同或单次测量的误差估计

在实际工作中，常限于被测对象特别稳定而仪器的灵敏度不够需要多次测量，出现多次测量的值相同，以及工作中有时不需要精确测量而只做单次测量，这时的误差应如何估计呢？

通常，测量结果的误差是系统误差和随机误差的综合，对于多次测量值相同，仪器的灵敏度不够，以致仪器误差“淹没”了随机误差，这时可用仪器误差作为测量结果的评定，对于单次测量也是如此。但必须指出，无论对于多次测量值相同还是单次测量的情况，都必须把产生误差的因素分析清楚；否则，即使是用仪器误差来表征测量结果，也会产生对误差估计不足的失误。例如，用卷尺测量物体长度时，如果测量者倾斜拉尺或卷尺扭曲，这时产生的误差就会比仪器误差大得多，如果仍然用仪器误差来评定测量结果，则会产生测量错误。

仪器误差表征了仪器示值的不确定范围，属于非统计量，鉴于误差以正态分布为基本分布，故在普通物理实验中，以3倍标准偏差与仪器误差相对应，即3S＝Δ仪。在实际中都是以仪器出厂技术检定书上的各种技术指标来评定仪器质量的，故Δ仪是一种简化处理。