由前面的定理3知，二阶常系数线性非齐次方程的通解等于它所对应的线性齐次方程的通解与其自身的一个特解之和.而齐次方程的通解已解决，现在关键是求线性非齐次方程的一个特解.由方程的特点可以看出，自由项f(x)的类型不同，特解也就不同.本节只介绍几种特殊类型的自由项所对应的特解，如表6-2所示.

表6-2

S=C1(cos2t+C2sin2t).

因为α+βi=i不是特征根，设方程的特解为s*=Ccost+D sint，代入方程(6-15)得C=0，D=1.

故方程(6-15)的通解为s=C1cos2t+C2sin2t+sint.

又因为物体由静止状态开始运动，即，

于是

所以运动方程为

习题6-3(www.daowen.com)

1.求下列方程的通解.

(1)y″+5y′+4y=0； (2)2y″-3y′=0

(3)y″+2y′+y=0；　(4)4y″-12y′+9y=0；

(5)y″+2y′+4y=0；　(6)y″-y′+2y=0.

2.写出下列方程的一个特解形式.

(1)y″+5y′+4y=3x2+1；　(2)y″+3y′=3x2+1；

(3)4y″+12y′+9y=；　(4)y″+2y′+5y=e-xsin2x.

3.求下列方程的通解.

(1)y″+4y′+4y=4；　(2)2y″+y′-y=2ex.

4.设一质量为m的潜水艇从水面由静止状态下沉，所受阻力与下沉速度成正比(比例系数k＞0).试求潜水艇下沉深度与时间t的关系.