定义1 经过适当的运算可化成形如

y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)

(6-9)

的二阶微分方程，称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程.其特点是y″，y′，y的最高次数均为一次，p(x)，q(x)，f(x)都是已知的自变量的连续函数.其中f(x)称为自由项，当f(x)=0时，称为二阶线性齐次方程；当f(x)≠0时，称为二阶线性非齐次方程，这时，它所对应的二阶线性齐次方程是令f(x)=0.例如，二阶线性非齐次方程y″+xy′+y=2x所对应的线性齐次方程为y″+xy′+y=0.但方程(y″)2+xy′=0不是二阶线性微分方程.

二阶线性微分方程的解有如下特点：

定理1 如果函数y1，y2是线性齐次方程的两个解，则函数y=C1y1+C2y2(C1，C2为常数)仍为该方程的解.

定理2 如果函数y1，y2是线性齐次方程的两个线性无关的特解，则函数y=C1y1+C2y2(C1，C2为常数)为该方程的通解.

定理3 如果函数y*是线性非齐次方程的一个特解，Y是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则y=Y+y*为线性非齐次方程的通解.

定理4 设二阶线性非齐次微分方程为

y″+p(x)y′+q(x)y=f1(x)+f2(x)，(www.daowen.com)

(6-10)

且与分别是

y″+p(x)y′+q(x)y=f1(x)

(6-11)

和

y″+p(x)y′+q(x)y=f2(x)

(6-12)

的特解，则+是方程(6-10)的特解.

以上定理是求二阶线性微分方程的解的理论依据，读者可结合微分方程的解的概念理解.