1.直角坐标情形

由前面的讨论可知，如果f(x)≥0，则曲线y=f(x)与直线x=a，x=b，y=0围成的平面图形的面积A的微元是dA=f(x)dx；如果f(x)在[a，b]上有正有负，那么它的面积A的微元应是以|f(x)|为高、dx为底的矩形面积(如图5-11)，即dA=|f(x)|dx.于是，总有A=(x)|dx.

图5-11

图5-12

例1 求由曲线y=x3与直线x=-1，x=2及x轴所围成的平面图形的面积(如图5-12).

解 由上述公式得

求由两条曲线y=f(x)，y=g(x)与两条直线x=a，x=b所围成的平面图形的面积(如图5-13).

不难得出面积微元dA=|f(x)-g(x)|dx.

从而，有A=(x)-g(x)|dx.

例2 求由抛物线y=x2与直线y=2x所围成的平面图形的面积.

解 如图5-14所示，联立两曲线方程：，解之，得交点O(0，0)，A(2，4).且

图5-13

图5-14

在计算平面图形的面积时，恰当地选择积分变量，有利于问题的解决.

例3 求由抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成的平面图形的面积.

解 如图5-15所示，联立两曲线方程，解之，得交点A(2，-2)，B(8，4).

如果选择y作积分变量，y∈[-2，4]，任取一个子区间[y，y+dy]⊂[-2，4]，则得面积微元

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于是

如果选择x作积分变量，那么它的表达式就比上式复杂.读者不妨自己去试试.

图5-15

图5-16

例4 求椭圆x=acost，y=bsint的面积(如图5-16).其中a＞0，b＞0.

解 因为图形关于坐标轴对称，所以椭圆面积是它在第一象限部分的面积的4倍.即A=4dx.

把x=acost，y=bsint代入上述积分式中，由定积分的换元法得

一般地，当曲边梯形的曲边y=f(x)(f(x)≥0，x∈[a，b])由参数方程给出时，如果x=φ(t)满足：φ(α)=a，φ(β)=b，φ(t)在[α，β](或[β，α])上具有连续导数，y=ψ(t)连续，则由曲边梯形的面积公式及定积分的换元法可知，曲边梯形的面积为

2.极坐标情形

由极坐标系下的方程给出的曲线ρ=ρ(θ)与两射线θ=α，θ=β所围图形(图5-17)称为曲边扇形.下面讨论它的面积A的求法.

这里用从原点出发的射线把曲边扇形分割成小曲边扇形，即取辐角θ为积分变量，积分区间为[α，β]，对应小区间[θ，θ+dθ]的小曲边扇形面积用以ρ(θ)为半径、dθ为圆心角的扇形面积[ρ(θ)]2dθ作　为　近　似　值，即 得 面 积 微 元 为dA=[ρ(θ)]2dθ，于 是A=[ρ(θ)]2dθ.

例5 求心形线r=a(1+cosθ)(如图5-18)所围成的面积(a＞0).

图5-17

图5-18

解 由上述公式，再利用图形的对称性，得