定义 设函数f(x)在区间[a，b]上有界，在区间[a，b]上任意插入n-1个分点

a=x0＜x1＜x2＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn-1＜xn=b，

把区间[a，b]分成n个小区间：[x0，x1]，[x1，x2]，…，[xi-1，xi]，…，[xn-1，xn]，各个小区间的长度分别记为Δxi=xi-xi-1(i=1，2，…，n).

在每个小区间[xi-1，xi]上，任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi)，得相应的函数值f(ξi)，作乘积f(ξi)Δxi(i=1，2，…，n)，把所有这些乘积加起来，得和式f(ξi)Δxi，记λ=max{Δxi}(i=1，2，…，n)，当n无限增大且λ→0时，如果上述和式的极限存在，则称函数f(x)在区间[a，b]上可积，并将此极限值称为函数f(x)在区间[a，b]上的定积分.记作f(ξi)Δxi.其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，[a，b]称为积分区间，a称为积分下限，b称为积分上限.

1.根据定积分的定义，上面两个例子都可以表示为定积分

(1)曲边梯形面积A是曲边函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，即

(2)变速直线运动的路程s是速度函数v(t)在时间间隔[T1，T2]上的定积分，即

2.关于定积分的定义作以下几点说明

(1)所谓和式f(ξi)Δxi极限存在(即函数f(x)在区间[a，b]上可积)，是指不论区间[a，b]怎样分，也不论对点ξi(i=1，2，…，n)怎样取，极限都存在且相等.

(2)因为定积分是和式的极限，它是由函数f(x)与区间[a，b]所确定的.因此，它与积分变量的记号无关，即(u)du.

(3)在定积分的定义中，若a＞b时，则规定(x)dx.

特殊地，若a=b，规定(x)dx=0.(www.daowen.com)

3.定积分的存在问题

函数f(x)在[a，b]上满足怎样的条件才一定可积?对于这个问题我们不作深入讨论，而只给出以下两个充分条件：

定理1 若f(x)在闭区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上可积.

定理2 若f(x)在闭区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a，b]上可积.

4.定积分的几何意义

(1)如果在[a，b]上f(x)≥0，定积分(x)dx在几何上表示曲线y=f(x)与直线x=a，x=b，y=0所围成的曲边梯形的面积，即(x)dx=A，如图5-1所示.

(2)如果在[a，b]上f(x)≤0，所围成的曲边梯形在x轴的下方，这时定积分(x)dx在几何上表示该曲边梯形面积的负值，即(x)dx=-A，如图5-3所示.

(3)如果f(x)在区间[a，b]上有正也有负，则定积分(x)dx的几何意义是在[a，b]上各个曲边梯形面积的代数和，即在x轴上方取正，下方取负，(x)dx=-A1+A2-A3，如图5-4所示.

图5-3

图5-4