前面讨论了函数的各种性态，我们就能够比较准确地描绘函数的图形.

利用导数描绘函数图形的一般步骤如下：

(1)确定函数y=f(x)的定义域，考察函数的奇偶性与周期性；

(2)求函数的一阶导数f′(x)和二阶导数f″(x)；

(3)令f′(x)=0和f″(x)=0，求出方程在定义域内的全部实根，用这些根把函数的定义域划分成几个部分区间(函数的间断点或导数不存在的点，也要作为分点)；

(4)列表讨论在各个部分区间上f′(x)和f″(x)的符号，从而确定函数f(x)的单调性、极值、凹凸性和拐点；

(5)确定函数的水平、垂直渐近线及其他变化趋势；

(6)确定曲线上一些重要点的坐标，如曲线与坐标轴的交点等，连接这些点画出函数y=f(x)的图形.

例7 描绘函数y=4x-x3的图形.

解 (1)函数y的定义域为(-∞，+∞).因为f(-x)=-f(x)，所以它是奇函数，图形关于原点对称.

(2)y′=4-3x2，y″=-6x.

(4)列表讨论如下：

(5)该曲线无渐近线.

(6)当x=0时，y=0，曲线过点(0，0)；当y=0时，x(4-x2)=0，得曲线与坐标轴交点

图3-29

f，再根据上表描绘出函数y=4x-x3的图形，如图3-29所示.(www.daowen.com)

例8 描绘函数y=e-x2的图像.

解 (1)函数y的定义域为(-∞，+∞)，因为f(-x)=f(x)，所以它是偶函数，图形关于y轴对称，因此，只要作出它在[0，+∞)内的图形，再根据对称性即可得到它的全部图形.

(2)

(3)域划分成四个部分区间

(4)列表讨论如下：

(5)由于=0，所以函数图形有一条水平渐近线y=0.

(6)当x=0时，y=1，曲线过点(0，1)；f，根据上表描绘函数在(0，+∞)内的图形，再由对称性得函数y=e-x2的图形，如图3-30所示.

图3-30

习题3-5

1.求下列曲线的凹凸区间与拐点.

2.求下列曲线的渐近线.

3.问：a，b为何值时，点(1，4)是曲线y=ax3+bx2的拐点?4.描绘下列函数的图形.