在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定可导函数f(x)确有最大值或最小值，而且一定在定义区间内部取得.这时，如果f(x)在定义区间内部只有一个驻点x0，那么不必讨论f(x0)是不是极值，就可以断定f(x0)是最大值或最小值.

例2 修建周长为3000m的矩形堆货场，问：长、宽各为多少时，才能使其面积最大?

解 设堆货场的长为x m，则宽为=(1500-x)m，于是，堆货场的面积为

S(x)=x(1500-x)=1500x-x2 (0＜x＜1500)，

S′(x)=1500-2x，令S′(x)=0，得驻点x=750.

因为S″(x)=-2＜0，所以x=750是极大值点，由于在区间内是唯一的极大值点，故它也是最大值点.所以，该堆货场的长、宽均为750 m时，其面积最大，最大面积为S(750)=562500(m2).

图3-19

例3 有一条由西向东的河流，经过相距150km的A，B两城，为了从A城运货到B城正北20km的工厂C，准备在河流北岸建筑码头M，并修公路MC，已知水运运费是3元/(t·km)，公路运费是5元/(t·km)，问：码头建在何处，才能使货物从A城经码头M运到工厂C的运费最省?如图3-19所示.

解 设MB=x(km)，

则AM=150-x，沿路线AMC运at(a≥0)货物所需运费为y(元).

由题意建立函数关系，由A到M的水运运费是3a(150-x)(元).

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令y′=0，得x=15(x=-15不合题意，舍去).

当0＜x＜15时，y′＜0；当15＜x＜150时，y′＞0.

因此，y在x=15处取得极小值，这个极小值就是y的最小值.

所以，码头M建在距B城15km处时，运费最省.

习题3-4

1.求下列函数的最大值与最小值.

2.设y=x2-2x-1，问：x等于多少时，y的值最小?并求出它的最小值.

3.欲用6m长的木料加工一个“日”字形窗框，问：长和宽分别为多少时，才能使窗框面积最大?最大面积是多少?

4.在一条公路的一侧有某乡镇的A，B两村，其位置如图3-20所示，乡镇欲在公路旁边修建一个堆货场M，并从A，B两村各修一条直线公路通往堆货场M，欲使A，B到M的公路总长最短，堆货场M应修在何处?

图3-20