定理2 设函数y=f(x)与x=Φ(y)互为反函数，函数y=f(x)在x处连续，x=Φ(y)在与x相对应的y处可导，且x′y≠0，即Φ′(y)≠0，则f(x)在x处可导，且

读者可自己证明.

例5 求ax的导数，其中a＞0，且a≠1.

解 因为y=ax(a＞0且a≠1)的反函数是x=logay，且y=ax连续，

又已知x′y=(logay)′=，

所以(ax)′===ylna=axlna.

特别地，(ex)′=ex.

例6 求arcsinx的导数.

解 因为y=arcsinx的反函数是x=siny，且y=arcsinx连续，又已知=(siny)′=cosy.

证明略.

例7 求y=lntanx的导数.

解 y=lntanx是由y=lnu与u=tanx复合而成的，因此(www.daowen.com)

例8 求y=ex3的导数.

解 y=ex3是由y=eu与u=x3复合而成的，因此

从以上例子看出，应用复合函数的求导法则，首先要分析所给函数可由哪些函数复合而成，或者说，所给函数能分解成哪些函数.如果所给函数能分解成几个简单函数，而且这些简单函数的导数我们已经会求，那么应用复合函数的求导法则就可求出所给函数的导数了.

对复合函数的复合过程掌握比较熟练后，就可不必写出中间变量，而可采用以下方式进行求导.

例9 求y=cos3x的导数.

解 y′=(cos3x)′=-sin3x·(3x)′=-sin3x·3=-3sin3x.

例10 求幂函数y=xμ(μ为常数，x＞0)的导数.

解 因为y=xμ=eμlnx，

复合函数的求导法则还可推广到多个中间变量的情形，以两个中间变量为例，设y=

习题2-2

1.填空题.