类似数列的极限定义，有x→∞时函数f(x)的极限的定义.

定义1 若对于预先给定的任意小正数ε，总存在一个正数M，使得当|x|＞M时，不等式

|f(x)-A|＜ε (A是确定的常数)

恒成立，则称A是函数y=f(x)当x→∞时的极限，记作f(x)=A或f(x)→A(x→∞).

x→∞包含x沿着正方向趋向于无穷大，记作x→+∞，以及沿着负方向趋向于无穷大，记作x→-∞.

当x→+∞时，f(x)以常数A为极限，记为

当x→-∞时，f(x)以常数A为极限，记为(www.daowen.com)

定义1告诉我们，当自变量的绝对值|x|无限增大时，如函数f(x)与某确定常数A无限地接近，则常数A就是x趋向无穷大时f(x)的极限.

例1 对于函数f(x)=1+，当|x|无限增大时无限接近于常数0，函数f(x)=1+就无限接近于常数1，所以=1.

例2 对于函数φ(x)=arctanx，当x→+∞时，它所对应的函数值φ(x)无限接近于常数，即arctanx=；当x→-∞时，φ(x)无限接近于常数-，即arctanx=-.

有的函数f(x)，当自变量|x|无限增大时，函数f(x)的绝对值也无限增大，在这种情况下，虽然f(x)的极限不存在，但也可记为

例3 x2=+∞.