1.基本初等函数

在中学已经学过幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，这些函数统称为基本初等函数.

2.复合函数

在实际问题中，经常遇到两个变量之间的联系不是直接的，即因变量不直接依赖于自变量，而是通过另一个变量联系起来.

例如，有质量为m的物体，以初速度v0竖直上抛，由物理学知其动能E是速度v的函数：

而在不计空气阻力时v=v0-gt，g是重力加速度，因此E通过v成为t的函数：

它是由函数E=mv2和v=v0-gt复合而成的复合函数.一般地，我们有如下定义.

定义2 设y是u的函数即y=f(u)，定义域为U1，而u又是x的函数u=φ(x)，值域为U2，其中U2⊆U1，则y通过变量u成为x的函数，这个函数称为由函数y=f(u)与函数u=φ(x)构成的复合函数，记为

y=f[φ(x)].

其中变量u称为中间变量.

形成复合函数的中间变量可以是两个或更多个.例如，由y=lgu，u=tanυ，υ=x2+5，经二次复合构成x的复合函数y=lgtan(x2+5).

但需注意，并不是任何两个函数都可复合成一个复合函数.例如，y=arccosu，u=2+x2，就不能复合成y=arccos(2+x2)，因为u总是大于1，使y=arccosu没有意义.

我们不仅要学会把若干个简单的函数“复合”成一个复合函数，而且要善于把一个复合函数“分解”为若干个简单的函数.这种分解方法在后面的微积分运算中经常要用到，应该得到足够的重视.

例6 将下列函数分解为较简单的函数.

(1)y=arcsin； (2)y=.

解 (1)函数y=arcsin是由下列函数复合而成的：

(2)函数y=是由下列基本初等函数复合而成的：

3.初等函数

定义3 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算以及有限次复合运算所构成的能用一个式子表示的函数，称为初等函数.(www.daowen.com)

例如，y=arcsin+5，y=tant-sint2都是初等函数.

今后讨论的函数绝大多数都是初等函数.

图1-5

4.建立函数关系举例

用数学方法解决实际问题时，首先要建立数学模型，即建立函数关系，为此需明确问题中的因变量与自变量，根据题意建立等式，从而得出函数关系，再根据实际问题的要求，确定函数定义域.

例7 某工厂位于A，与铁路的垂直距离为a(km)，它的垂足B到火车站C的铁路长为b(km)，工厂的产品必须经火车站C方能转销外地，已知汽车运费是m[元/(t·km)]，火车运费是n[元/(t·km)](m＞n).为节省运费，计划在铁路上另修一小站M作为转运站，那么运费的多少决定于M的地点，试将运费表示为距离|BM|的函数，如图1-5所示.

解 设|BM|=x，运费为y.

根据题意，有|AM|=，|MC|=b-x，则y=m+n(b-x)，x∈[0，b].

例8 某厂生产某种产品1600t，定价为150元/t，销售量在不超过800t时，按原价出售，超过800t时，超过部分按8折出售.试求销售收入与销量之间的函数关系.

解 按题意，设销售量为xt，销售收入为R元.

当0≤x≤800时，R=150x.

当800＜x≤1600时，收入由两部分组成：

800t部分的收入为150×800；

超过800t部分的收入为150×0.8(x-800).

从而，R=150×800+150×0.8(x-800)=24000+120x.

于是R与x之间的函数关系为

习题1-1