沿着直线前进的自行车，车轮上的打气嘴，它的轨迹运动轨迹是怎样的曲线（见图6）？这就是一个旋轮线的生活实例。

图6

一个圆在一条定直线上滚动时，圆周上一个定点的轨迹是怎样的？

物理上，一个圆沿一直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为直线上的旋轮线，简称旋轮线（cycloid），又称摆线（见图7）。

图7

从数学的角度，考虑半径为a的圆，定点的初始位置为坐标原点O，定直线为x轴。当圆滚动角θ以后，圆上定点从点O的位置到达点P位置（见图8），切点在圆上经过的距离与在直线上经过的距离相等，均为aθ。从而，P的横坐标为aθ－a sinθ，纵坐标为a－a cosθ。

图8

因此，此旋轮线的参数方程为

其中a为圆的半径，θ是圆的半径所经过的角度（滚动角）。

当圆滚动一周，即θ从0变到2π时，动圆上定点P描画出旋轮线的第一拱；再向前滚动一周，动圆上定点描画出第二拱；继续滚动，可得第三拱、第四拱……所有这些拱的形状都是完全相同的，每一拱的拱高为2a（即为圆的直径），拱宽为2πa（即圆的周长）。

伽利略（Galileo Galilei，1564—1642）是最早注意到摆线的科学家之一，他在1599年曾经尝试以操作的方法，来计算摆线的一拱与其底线间的面积。他将轮子在一直线上滚动，实地描绘出摆线的一拱，然后利用相同的材料做成摆线的一拱以及滚动圆，在天平上称的结果发现摆线的一拱与3个滚动圆盘大致平衡，所以，摆线一拱的面积大约是滚动圆面积的3倍。不过，伽利略却觉得比值应该是无理数，所以，他猜测摆线一拱的面积是滚动圆面积的π倍。

摆线一拱的面积，是罗贝瓦尔（Gilles Persone de Roberval，1602—1675）在1634年最先求得的。他在1638年还找到摆线之切线的作法。约在同一时期，笛卡尔（RenéDescartes，1596—1650）与费马（Pierre de Fermat，1601—1655）也找到切线的作法。另外，罗贝瓦尔也讨论过摆线的一拱绕其底线旋转所得旋转体的体积。

就在罗贝瓦尔研究摆线有所成就的时候，伽利略的一位学生托里拆利（Evangelista Torricelli，1606—1647）也对摆线大感兴趣。1643年，托里拆利发表了一篇名为“De Parabole”的作品，其中附带提到摆线的求积法与切线的作法，却没有提到罗贝瓦尔在他之前已经得出这两个结果。由于这个缘故，罗贝瓦尔曾在1646年写信谴责托里拆利窃取他人的研究成果。对于这件事，后世数学史家认为托里拆利是被冤枉了，因为罗贝瓦尔的成果直到1693年才发表。

1658年，曾经在4年前就放弃数学转攻神学的天才数学家帕斯卡（Blaise Pascal，1623—1662）发生一件趣事。有天晚上，帕斯卡因牙痛而睡不着觉，为了想忘掉疼痛，就专心思考摆线的性质，想着想着，牙齿竟然不痛了，帕斯卡认为这是上帝在给他提示，表示他研究数学并没有惹上帝不高兴。于是，他全心投入来探讨摆线的性质，数天后他就获得一些与摆线有关的面积、体积与重心等方面的结果。他将研究所得写成问题向当代数学家提出挑战，并且设置两个奖，还请罗贝瓦尔担任其中的一位评审人。也许因为没能公告给多数人知道，或是因为时间太紧迫了，这次悬赏行动只收到拉路维尔（Antoine de Lalouvire，1600—1664）与沃利斯（John Wallis，1616—1703）的响应，而且所送的解答中还有一些计算上的错误。所以，帕斯卡没有颁奖，只是将他自己的研究成果写成“Histoire de la Roulette”（摆线的历史）一文予以发表（当时的法国人将摆线称为“roulette”）。结果与赛的两人因为没有被颁奖而不高兴，而意大利的数学家们则为帕斯卡在《摆线的历史》一文中没有提到托里拆利而不痛快。

就在沃利斯参加帕斯卡的挑战的同时，另一位英国人雷恩（Christopher Wren，1632—1723）将他所得的摆线弧长的求法寄给帕斯卡，这是帕斯卡不曾得到的结果。雷恩后来转行去研究物理与建筑，1666年伦敦大火后，雷恩因为设计伦敦的圣保罗教堂而闻名于世。

17世纪是人们对数学力学和数学运动学爱好的年代，在这一时期伴随着许多发现，也出现了众多有关发现权的争议、剽窃的指责，以及抹煞他人工作的现象。古希腊时代的特洛伊战争是以争夺世上最漂亮的女人海伦（Helen）为起因，导致以阿伽门农（Agamemnon）及阿喀琉斯（Achilles）为首的希腊军进攻以帕里斯及赫克托尔为首的特洛伊城带来的10年攻城战。摆线的研究成果曾经引起许多科学家的竞争与争吵，有人甚至把它比喻成特洛伊战争中的海伦，被贴上了引发争议的“金苹果”和“几何的海伦”（the Helen of geometry）的标签。

17世纪时，人们就发现旋轮线具有如下性质：

（1）旋轮线一拱的长度等于旋转圆直径的4倍。尤为令人感兴趣的是，它的长度是一个不依赖于π的有理数。

（2）旋轮线一拱在弧线下的面积是旋转圆面积的3倍。

（3）旋轮线的等时性：当物体从一个摆线形状的容器的不同点放开时，它们会同时到达底部（不考虑摩擦力）。

下面我们用简单的方法证明以上性质。

证：(www.daowen.com)

（1）设动圆半径为a，由上面的式（1）可知

d x＝a（1-cosθ）dθ，d y＝a sinθdθ，

则弧长s的微分

从而，当圆滚动一周，即θ从0变到2π时，旋轮线一拱的长度

（2）面积A的微分

从而，旋轮线一拱的面积

（3）设物体初始位置的纵坐标为y0，对应的角度参数为θ0，设物体在点（x，y）经过一小段路程d s所对应的时间为d t，由前面的计算可知

d s＝2a sin（θ／2）dθ。

由物理学中的机械能守恒定律可知，物体达到点（x，y）的速率v

满足

即　

其中g为重力加速度。因此

注意到物体到达底部所对应的角度参数为π，从而到达底部所需的时间即为

由此可见，此时间与物体的初始位置y0或θ0无关。

我们利用Mathematica程序绘制旋轮线。这里a是圆的半径，b是固定点离圆心的距离，t是旋转的角度。

a＝2；b＝1；

ParametricPlot［｛a t－b Sin［t］，a－b Cos［t］｝，｛t，0，6 Pi｝，PlotStyle→Red］