1630年意大利科学家伽利略（Galileo Galilei，1564—1642）提出一个分析学的基本问题：一个质点在重力作用下，从一个给定点到不在它垂直下方的另一点（见图5），如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短？这就是著名的“最速降线问题”（problem of brachistochrone）。

图5

1638年，伽利略在著作《论两种新科学》中认为此线是圆弧，但后来人们发现这个答案是错误的。

1696年瑞士数学家约翰·伯努利（Johann Bernocelli，1667—1748）在《教师学报》上再次就最速降线问题向全欧洲的数学家提出挑战。约翰提出的挑战很精彩，设想在地面上不同高度的两点A和B，并且不要让其中一点直接位于另一点的正上方。连接这两个点，可以作出无限多的不同曲线，从直线、圆弧线到其他任意曲线。现在设想有一个球沿着一条曲线从点A滚向较低的点B。当然，球滚完全程所需要的时间取决于曲线的形状。挑战是找出一条曲线AMB，使球沿这条曲线滚完全程所用的时间最短。他称这条曲线为“最速降线”（brachistochrone），即由希腊语中的“最短”（brochistos）和“时间”（chronos）两个词合成而来。

为确保不会使人误解这道难题，约翰又重复了一遍：“在连接已知两点的无限多曲线中……选择一条曲线，如果用一根细管或细槽代替这条曲线，把一个小球放入细管或细槽中，放手让它滚动，那么，小球将以最短的时间从一点滚向另一点。”

显然，人们的第一个猜想是连接A，B两点作直线AB。但是，约翰对试图采用这一过于简单化的方法提出了警告：“……不要草率地作出判断，虽然直线AB的确是连接A，B两点的最短线路，但它却不是所用时间最短的路线。曲线AMB则是几何学家所熟知的一条曲线。如果在年底之前还没有其他人能够发现这一曲线，我将公布这条曲线的名称。”

约翰原定于1697年1月1日向数学界公布答案，可是到最后期限截止时，他只收到《教师学报》杂志主编、他的老师莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716）寄来的一份答案。在莱布尼兹的要求下，他将最后期限延长至复活节，以便让数学家们有充足的时间来解决这道难题。

“最速降线问题”的困难在于和以往的极大值、极小值的求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线）来满足所给的条件，而17世纪之前的数学理论对此并未涉及。全欧洲的数学家们都被这个挑战的新颖和别出心裁所吸引，纷纷投入对该问题的求解，因为他们意识到这个问题的解决很有可能推动一门全新数学理论的形成。后来的事实也的确证明了这一点。(www.daowen.com)

在问题中约翰还暗示了他所挑战的对象，他写道：“……很少有人能够解出我们独特的问题，即使那些自称通过特殊方法……不仅深入探究了几何学的秘密，而且还以一种非凡的方式拓展了几何学领域的人。这些人自以为他们的伟大定理无人知晓，其实早已有人将它们发表过了。”还有谁能怀疑他所说的“定理”就是指流数法、他所蔑视的目标就是牛顿（Isaac Newton，1642—1727）呢？牛顿曾宣称早在莱布尼兹1684年发表微积分论文之前就已发现了这一理论。而莱布尼兹正是约翰的老师，约翰以一种近于惊人的执着支持着莱布尼兹。无疑，约翰的挑战目标非常明确，并且他把“最速降线问题”抄了一份，亲自装进信封寄往英国。

那时的牛顿正在忙于英国造币局的事务，而且正如他自己所承认的那样，他的头脑已不似20年前全盛时期那样机敏。当时牛顿与他的外甥女凯瑟琳一起住在伦敦。凯瑟琳记述了这样的故事：“1697年的一天，收到伯努利寄来的问题时，牛顿爵士正在造币局里忙着改铸新币的工作，很晚才精疲力尽地回到家里，但是，直到解出这道难题，他才上床休息，这时，正是凌晨4点钟。”即使是在晚年，并且是在经过一天紧张的工作而感到精疲力竭的情况下，牛顿仍然成功地解出了众多欧洲人都未能解出的难题！由此可见这位英国伟大天才的实力。他清楚地感觉到自己的名望与荣誉都受到了挑战，伯努利和莱布尼兹毕竟都还在急切地等待着公布他们自己的答案。因此，牛顿当仁不让，仅仅用几个小时就解出了这道难题。然而，牛顿有些被激怒，据说他曾说过：“在数学问题上，我不喜欢……给外国人……戏弄。”

很快，1697年的复活节来临，挑战期限截止。约翰一共收到了5份答案，其中当然包括他自己的答案和莱布尼兹的答案。他的哥哥雅各布（Jakob Bernoulli，1654—1705）寄来了第三份答案（这也许会使约翰感到沮丧，因为他们兄弟俩都视对方为强劲竞争对手，为了胜出对方一筹而不断斗力），洛必达侯爵（L'Hospital，1661—1704）则寄来了第四份答案。最后寄来的答案信封上盖着英国的邮戳。约翰打开后，发现答案虽然是匿名的，但却完全正确。他显然遇到了他的对手牛顿。答案虽然没有署名，却明显出于这位绝顶天才之手。据说（或许不尽可靠，但却非常有趣），约翰半是羞恼、半是敬畏地放下这份匿名答案，会意地说：“我从他的利爪认出了这头狮子。”

于是约翰在当年第6期《教师学报》公布了众人的解答，他们每个人所求得的曲线都是连接AB两点的上凹的一段旋轮线，而这的确“是几何学家所熟知的一条曲线”。我们注意到，帕斯卡和惠更斯就曾研究过这一重要曲线，但他们谁也没有认识到旋轮线还是一条最快的下降曲线。约翰以一种夸张的口吻写道：“……如果我明确说出惠更斯的……这一旋轮线就是我们所寻求的最速降线，你们一定会惊呆了。”

之所以说“最速降线问题”是数学史上最激动人心的一次公开挑战，首先在于参与挑战的人数众多，最后得出正确结果的人在数学史上都赫赫有名。牛顿、莱布尼兹各自独立地创立了微积分；科学世家伯努利家族在数学与科学上的地位，正如巴赫家族在音乐领域的地位一样显赫，而伯努利兄弟二人正是该家族中的杰出人物；洛必达年幼时就显露出其数学天才，以15岁之龄解答出帕斯卡的“摆线难题”，1691年末至1692年7月期间师从约翰·伯努利学习微积分，其著作《阐明曲线的无穷小分析》中直观意念来自其导师约翰的洛必达法则，更是大大地减低微分运算的难度。

尽管答案都是旋轮线，但5个人的解法各有千秋。约翰的解法应该是最漂亮的，类比了费马原理，巧妙地将物理和几何方法融合在一起，用光学的思想一下就做出来了。雅各布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化，真正体现了变分思想。而牛顿、莱布尼兹、洛必达等人都是用他们所擅长的微积分法解出，但具体步骤各不相同。

由于雅各布的解法体现出变分的思想，且更一般化，约翰的学生、大数学家欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）也开始关注这个问题，并从1726年起开始发表相关的论著，于1744年最先给出这类问题的普遍解法，最终创立了变分法这一新的数学分支。变分法应用广泛，从肥皂泡到相对论，在诸如力学、电学、空气动力学、最优化控制和几何学中都有应用。可以说“最速降线问题”直接导致了变分学的诞生，这才是这次挑战的最大意义所在。