我们在生活实践中遇到的事物个数都是有穷的，例如，一个学校的学生个数是有穷的，一个城市乃至一个国家的人口数也是有穷的。但是在数学上经常会遇到无穷的情况，例如，自然数的个数是无穷的，有理数的个数是无穷的，一条直线上的点的个数是无穷的，等等。

由于人们在生活实践中遇到的事物个数都是有穷的，人们的思维局限在有穷的范围中，也就往往习惯于从有穷来考虑问题，一旦遇到无穷的概念，常识就会出错，甚至连专家学者也免不了会犯错误。如古希腊数学家欧几里得（Euclid，约前330—前275）在他的名著《几何原本》中提出一个公理：“整体大于部分”，但是意大利物理学家伽利略（Galieo Galilei，1564—1642）指出：正整数与平方数一样多。换言之，在无穷的情况下，整体不一定大于部分。

我们再来看一个著名的“希尔伯特旅馆”问题：有一天，某旅馆的房间都住满了客人（即每个房间都住进了一位客人），这时又来了一位客人，问他是否还能住进去？(www.daowen.com)

答案是如果房间数有限，则新来的客人是无法住进去的；但如果房间数是可列无穷多（即全部房间可排列成1号房，2号房，3号房，……，直至无穷，这样的旅馆被称为“希尔伯特旅馆”），则新来的客人可以住进去。方法是这样的：让住1号房的客人住到2号房去，让住2号房的客人住到3号房去，依此类推，让住n号房的客人住到n＋1号房去，直至无穷，这样空出来的1号房就可以让新来的客人住了。

按照上述办法，我们还可以进一步断言，即使新来2位、3位、100位，甚至可列无穷多位客人，我们都有办法让他们全住进去，使原来的客人与新来的客人每人都住一个房间，而不会有人没房间住（请读者思考理由）。