在中学我们就接触到有理数。有限位的小数是有理数，无限位的循环小数也是有理数。一般来说，有理数可以写成两个整数之商，这也可以作为有理数的定义。有了有理数自然就有无理数，无理数自然就是不可以写成两个整数之商的那些数了。看起来，有理数确实比无理数要有理一些。有理数的英文是“rational number”，而无理数就是“irrational number”，翻译成中文就是有理和无理。可是进了大学，会碰到另一个有理的内容——有理多项式，其定义是两个多项式之商，这与有理数有相同的传承。可是，在往后的课程里却没有无理多项式。不可以写成两个整数之商的数至少还是数，还可以叫做无理数；而不可以写成两个多项式之商的就不是多项式了。所以每当给学生讲有理多项式时总感到那么一点别扭，怕学生会问无理多项式是什么，但同时我也特别期待有这样的学生出现。因为你学了有理数、又学了无理数，现在学了有理多项式自然应该想到要有无理多项式。这叫“举一隅而可以反三隅”。对于这样的学生，我总有一种特别的亲近感。

那么，这个别扭究竟发生在哪里呢？英语“rational”翻译成有理，这个词是从拉丁文来的，其本意应该是“Ratio-nal”，也就是“之商”或“成比例”的意思，当然你也可以认为成比例就比较“有理”。早期数学中的大多数专有名词都是从拉丁文或希腊文来的。网络上有个mathematical genealogy网站，你可以查询数学的师承关系，进而可以查到导师是什么时候获得博士学位、在哪里获得博士学位、论文题目是什么、他的导师是谁，等等。如果回溯还可以发现，在1850年以前那些博士论文基本上都是用拉丁文写的，也就是说“rational number”这个词的出现还没有超过200年，是19世纪的产物。而在20世纪初，克莱因（Felix Christian Klein，1849—1925）、柯朗（Richard eourant，1888—1972）就已经行文讨论这个问题，人们甚至要求将有理数改名为比率数。可终因使用的人太多而改不过来。

那么，有理数究竟有多少呢？首先，有理数几乎充满整个实数区间，也就是说，对任何的实数及任意给定的小的误差界，我们总可以找到一个与这个实数的误差小于误差界的有理数。对于任何实数，我们总可以用小数一位一位地写下去（注意这些都是有理数），当写到小数点以后某一位时，这个有理数与目标实数之差是10的负的位数次方。只要增加位数，这个误差就越来越小。观察（0，1）区间，将这个区间10等分，那么在每个小区间有一个一位的小数，且这些正是分割点。如果将每个小区间再10等分，那么在每个更小的区间有一个两位的小数，如此等等。也就是说，在（0，1）区间密布着有限位的小数或者说有理数，所以说有理数在（0，1）区间是稠密的。在（0，1）区间里任意选一个非常小的开区间，里面都会有无穷多个有理数。

这样看起来有理数要比整数多得多。另一方面有理数可以写成两个整数之商，所以我们也可以用两个整数（m，n）来表示有理数，（m，n）对应于m／n。而所有的（m，n）包含了所有的有理数，并且会有许多重复，如（m，n）（2m，2n）表示同一个有理数。对这样的有理数表示，我们可以进行排序：（1，1）（1，2）（2，1）（3，1）（2，2）（3，1），…，每次都是从右上到左下斜着一排一排地排序。这样所有的有理数与整数的一个子集进行了对应或者配对，也就是说，有理数并不比整数多。奇怪吗？到了大学我们可以证明，整数不可以与所有的实数进行一一配对，也就是说，实数确实比整数或有理数多得多。无穷多集合与无穷多集合，其元素有的可以一一对应，如整数与有理数；有的则不能进行一一对应，如整数与实数。

问题：你还有什么办法对所有的有理数进行排序呢？(www.daowen.com)

问题：所有的实数可以排序吗？这个问题在前文中事实上已作回答，答案是“不能”。但为什么不能呢？

（本文得到北京师范大学王昆阳教授的帮助。）

复旦大学数学科学学院　吴宗敏