什么叫两张图片的距离？一张图片变成另外一张图片（假设是黑白的）有两个概念：一个是总用墨量的变化，一个是墨的位置变化。数学与其他科学一样，面对一个大问题，我们总是先分解成一些小问题，然后再一个一个地解决。可以假设总的用墨量是随时间均匀变化的，或者说用墨量走的是欧几里得最短路径，那么，如果A是A图片的用墨量，B是B图片的用墨量，公式p（t）＝（1-t）A+tB就是t时刻的用墨量。如果我们只关心集聚在质心的质量，那么利用格拉斯曼坐标，在格拉斯曼的空间里画直线，获得的就是上述质量变化的结果。我们把这个概念分离出来，简单地说就是把质量除掉，只处理同样单位用墨量的图片，然后在时刻t再把真实用墨量乘上去。现在是两张相同用墨量的图片，只是用墨的位置不同。为了给两张相同用墨量的图片定义距离，瓦萨斯坦（Wasserstein）把它看成是质量搬运的过程。什么是最短路径呢？当然是做功最少的路径，也就是说在搬运的过程中没有走冤枉路。正如我们寻找从0到1的全部实数，可以先找中点1／2，然后逐次细分、再求极限得到。求两个图像最短路径的关键是只要会求两个图像的中点。我们先来看个例子：如果A是单位质量集中在点0，B是单位质量集中在点1，那么中点应该是单位质量集中在点1／2，这也是我们通常所理解的中点。但是也可以一半质量在点0，一半质量在点1，这也是搬运的某种中间状态，甚至还可以是质量均匀地分布在区间［0，1］的状态。以上3个状态所做的功都是把单位质量从0运输到1所做的功的一半状态。第一种是一个人搬，恰好走到半路上；第二种是把质量一点一点地从点0扔向点1，恰好扔完一半的质量；第三种是许多人，排着队每人搬一点，搬到一半的时候，恰好第一个刚到达点1，而最后一个才离开点0。事实上你还可以举出第四个、第五个状态（试试看），也可以是AB作为图像的中间状态，或者说AB的中点。

复旦大学数学科学学院　吴宗敏(www.daowen.com)