按刚才的思想，直线上有A与B两个点，它们同时也是两个数，那么，什么是A+B？两个点可以加吗？为什么在2的位置上的点，加上在3的位置上的点是5的位置上的点呢？显然两个点加起来没有意义，或者说没有实际的物理意义或几何意义。将数与直线上的点对应起来称为点空间，点空间是没有加法的。直线上的点在定义了点0与点1以后，还有另外的一个意义，就是到点0的距离。这个距离是有向的距离，是有方向性的。这时记法上没有什么差别，但这个空间已经上升为更加抽象的层次，称为向量空间。很多学生学了欧几里得空间与笛卡尔坐标系后就经常把它们混同起来。欧几里得是点空间，它把数与点联系了起来；而笛卡尔又把数的关系运算引入欧几里得空间。加法是定义在向量空间上的，而不是定义在点空间上的。点2到点0的距离加上点3到点0的距离，等于点5到点0的距离。一定要引进0这个点以后才能进行。你看，加法好像也不是那么简单。而数学上跨出这一步又用了上千年的时间。准确的说法是可以在欧几里得空间上定义笛卡尔坐标系。你如果是个爱动脑筋的人，可能你还会问一些为什么。如果作为上海人，粗略地将苏州作为2，将无锡作为3，将南京作为5，那么，2+3＝5的意思可能是上海到苏州的距离加上上海到无锡的距离差不多是上海到南京的距离。但是对于南京人呢，对于苏州人、无锡人呢？南京人会说南京到无锡的距离加上南京到苏州的距离差不多是南京到上海的距离。一样的2+3＝5，具体解释就不一样了。数学是一门精确的科学，但还是从人们的经验中提炼出来的，应用中不可避免地带着以我为主的概念，经常以我为原点。(www.daowen.com)