在日常的计算和应用中，当某数具有太多位数时，特别是小数点后面具有很多位时，我们常常按四舍五入的原则截取，作为此数的近似值。例如，

π＝3．141592653589…，

按四舍五入原则，取小数点后面五位得到π的近似值为3．14159，取小数点后面六位得π的近似值为3．141593，等等。这样，它们的绝对误差不超过末位数的半个单位，即有

一般，四舍五入的原则即为当取近似数的位数确定以后，最后一位后面的数小于5就舍去，大于等于5就在近似数的最后一位加上1。也有执行以下原则的：小于5舍去，大于5进位（入），但当最后一位后面的数等于5时，若前面是奇数，则将5进1；若前面是偶数，则将5舍去。例如，π取小数后面3位时，近似值为3．142，取小数后面7位时，近似值为3．1415926。实践证明，当进行大量的运算时，按这样的原则舍入，总的运算误差积累较小。可以看出，按以上的原则进行舍入，得到的近似值与原值的绝对误差不超过末位数的半个单位。

如果我们将近似数x*表示成

其绝对误差满足|x-x*|≤，则称近似数x*具有n位有效数字。以上m为整数，n为正整数，ai（i＝1，2，3，…，n）为0至9中的一个数字，且a1≠0。

从上述可以知道，π的近似值

3．142＝（3×10-1+1×10-2+4×10-3+2×10-4）×10　具有4位有效数字，同理可知π的近似值3．1415926具有8位有效数字。

又例如，用圆周率的疏率来近似π，又有多少位有效数字呢？误差界如何？因为

且，因此可知用来近似π有3位有效数字，绝对误差界为0．5×10-2，相对误差界为0．5×10-2／3．14，即0．16×10-2。

事实上，按四舍五入规则来截位或进位所得到的近似值，其每一位数字都是有效可靠的，而且可以看出，有效数字的位数多少与小数点的位置无关。近似数0．00325具有三位有效数字，0．325的有效数字也是三位，但0．003250却具有四位有效数字。因此，如果近似数是按四舍五入原则取得的，那么有效数字位数即为从左边第一位非零数字数起总共有几位数，就有几位有效数字，从而也就可得其绝对误差限。我们现在可以清楚地知道，如果0．1和0．10都是由四舍五入原则得到的近似数，那么它们的有效数字是不同的，分别为一位和两位，从而其绝对误差限也不相同，近似数0．10的误差限为0．005，而0．1的误差限只能得到0．05，两者的精确度是不同的。

我们知道了一个近似数的有效数字位数，就可以知道它的绝对误差限和相对误差限，也就得到了它的精确度。反之，如果我们知道了近似数的相对误差限，也可以确定近似数至少有多少位有效数字了。我们有下面的结果：

（1）如果x的近似值x*有n位有效数字，则其相对误差限为

其中a1如前面所述，为x*的最高位数字，即为x*的第一位有效数字。

所以，若x的近似值x*具有n位有效数字，则其相对误差限必有

（2）如果x的近似值x*的相对误差满足

则x*至少有n位有效数字。(www.daowen.com)

以上两个结论的证明留给读者。

下面我们举两个例子，计算并同时理解有效数字和相对误差等的意义及它们的相互关系。

例1：求的近似值，要求相对误差小于0．1%，问要取多少位有效数字？

解：因为＝4．79583…，相对误差

这里a1＝4，所以令×101-n≤0．1%，计算得到：只要取n＝4即可，因此满足题中要求的的近似值为4．796。

例2：在近似计算中，我们常常用公式

来计算的近似值，并且可以证明（读者不妨一试）：这样产生的序列｛xk｝随着k的不断增大越来越接近，且可以无限接近。现利用此公式计算的近似值，已知xk是具有n位有效数字的近似值，试证明xk＋1是的至少具有2n位有效数字的近似值。

证：由计算公式可得

又易知＝2．64…，且xk是具有n位有效数字的近似值，所以有

又因为

k＝0，1，2，3，…，

于是有

即xk+1是的至少具有2n位有效数字的近似值。

在现代科学研究和应用中，近似计算可谓无处不在。但近似计算必须进行误差分析，在计算中要牢牢控制误差，使得到的近似值达到精确度的要求，这样的结果才是可靠的，近似计算也才可能发挥其巨大的作用。

浙江大学数学科学学院　卢兴江