17世纪70年代，人类完成了一项伟大的发明：微积分。牛顿（Isaac Newton，1643—1727）和莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716）在前人数学研究工作的基础上，发现了微分与积分之间的本质联系，创建了微积分学科。微积分的诞生具有划时代的意义，它是人类探索大自然的一项伟大成功，是人类科技史乃至文明史上的一个里程碑，也是人类思维的最伟大成就之一。

恩格斯曾说：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。”

积分学的发展起源于对平面与空间图形求面积与体积的问题。早在公元前5世纪，古希腊数学家安提丰（Antiphon，前426—前373）就创立了“穷竭法”，他指出圆内接正多边形当边数不断增加，最后多边形就与圆相合。公元前2世纪，古希腊数学家阿基米德（Archimedes，前287—前212）对“穷竭法”做出了最巧妙的应用，他在《论抛物线求积法》中用“穷竭法”求抛物弓形的面积，构造一系列三角形，使它们的面积之和不断接近抛物弓形的面积，这就是积分理论的最初形式。在《论球和柱体》一书中，阿基米德首先得到了球和球冠的表面积、球和球缺的体积的正确公式。阿基米德的著作代表了古希腊数学的顶峰。(www.daowen.com)

本文所述的“无穷小量的求和”，就是“穷竭法”思想在求图形面积与体积问题上的体现。具体地讲，就是把所要求的量（面积或体积）写成无限增加多个无限减小项之和的极限（或无限增加多个无穷小量之和的极限）。用通俗的话来说，当我们无法直接求某一图形的面积（或体积）时，可以将图形划分为许多细条（或细片），对细条的面积（或细片的体积）用近似值代替，把它们加起来得到的是图形面积（或体积）的近似值。要得到图形面积（或体积）的精确值，只需要让划分越来越细，这就是求极限的过程。需要指出的是，数学家们并不是一开始就找到这个方法的，这个方法是经过了几十代人长期的努力而得到的。