本文的目的是试图要回答“数学是什么？”，拿起笔才感觉到这正是数学一个尚未解决的根本性问题。没有一个数学家可以回答“数学是什么”。“不识庐山真面目，只缘身在此山中”。这已经由哥德尔在第三届国际数学家大会上用数学证明了。

“数学是关于数和形的一门精确的学问”，这是老师教我们的数学的一般的定义。严格地说：这只是古典数学——欧几里得几何及数学的定义。当然古典数学是数学的源泉、数学的基础。当集合论已经作为小学数学课本内容的今天，数学的定义至少应该改成“数学是关于对象和关系的精确的演绎系统”。即使如此，这也仅是关于基础数学的一个较为贴切的定义。如果考虑到应用数学，还应该拓展成“数学（特别是应用数学）是关于对象和关系的演绎，以逐步精确地描述、解释世界的学问”。在实际应用中，除了一个苹果加一个苹果等于两个苹果这类小学习题之外，精确解一般很难得到，甚至完全不可能得到。即使有解，苹果的品种、大小可能更为重要。即使像画直线这样最基本的数学问题，我们也没有可能做出来。光线也会产生弯曲和折射，这也是为什么早上看太阳看上去比较大的原因。所以，数学家兼思想家罗素（Bertrand Russell，1872—1970）说过：“一切问题，都是逼近问题。”哲学上也认为“没有绝对真理，只有相对真理”。数学家特别是应用数学家，他们做的无非是希望找到一种方法，可以逐渐精确地描述已知甚至未知的世界，而这样的方法或理论一定是与时俱进的。

按照美国数学会的分类，数学大约有100余个分支。我熟悉的至多只有7—8个分支。而要回答“数学是什么？”属于数学总论的范畴，这是以前我完全陌生的领域。数学总论研究亦如浩瀚的大海，写这篇文章最多只能算是海边戏水，可是我很想与大家一起分享戏水的愉悦心情，希望可以感染一些人，引起他们对大海的向往。

文章的题目与相声的第一句话相似，“相声是一门语言艺术，讲究‘说学逗唱’”。注意这里是“讲究”，就是还没有达到。事实上，相声也经常运用数学语言，叫做反证法或归谬法。这篇文章的论点是“数学是一门人、社会、自然对话的艺术语言”，它仅仅是一种语言，讲究“严、简、谐、续”。严格地说是“严谨、简明、和谐、自我完善、可持续发展”。语言的功能是交流，主要包括描述、论证、思想。而语言的思想功能是语言的高级功能，可以反过来促使人脑对语言提出修正及进一步发展。

严谨是数学语言的特征：为了达到严谨，通常采用抽象手段，即采用符号作为本语言的文字，而符号之间的关系是可以量化的。譬如，中文文字也可以认为是符号语言，由方块字符号组成。但是数学语言中不能说“我没有看见一个人”。必须讲清如果看见的不是一个人，那到底看见几个人，还是0个人。数学是量化的语言。有些无法量化的东西我们用概率——对可能性的量化。

简明是数学语言的另一个特征：三段论是数学语言的代表——前提（公理、大前提）、条件（小前提）和结论。而数学希望将整个数学语言系统化，尽量地做到前提最小化，条件最弱化，而使得结论最大化。大数学家欧拉曾经说过：“一切问题都是求最大最小问题。”甚至上帝也是按趋利原则创造世界的，连光线走的都是最短路径。

和谐就是美，就是艺术：数学语言描述复杂事物时，总是将其分解，逐步地提炼出和谐的部分。其代表就是利用函数空间的基进行展开，如多项式展开、傅立叶级数展开等。用函数、映照、算子表现它们的关系。应用数学中的数学建模，就是寻找函数间的和谐的微分算子关系。事实上，要想越来越精确地描述事物之间的关系，其模型必定越来越复杂。

数学不是一门封闭的学问，它在不断地自我完善，是可持续发展的。研究的对象（整数、有理数、实数、域、集合）的发展是如此，研究的方法与思想更是如此。

除了这4个特征以外，数学抽象的根本目的是：有了这些对象描述与关系以外，在这样的数学架构之上，还可能推导出什么？即：不单是描述世界，而是基于理性推导出人们还不曾经历的世界。通俗地讲，“数学想了解上帝创造世界的秘诀，从而预测甚至创造今后的世界”。近代科学成功的秘密正在于此。数学就是寻找对于科学现象进行独立于任何物理解释的定量的描述，而不单是以实用为出发点的理性力量。

当今数学的最大难题是什么？我们一定会列出一系列著名猜想，可是这些猜想只是数学内部的问题。当然这些都是世纪难题。但是当今数学真正的最大难题是判断“本句话是错的”的准确性。不管是中文，还是数学语言，从语言学的角度，这是一句陈述句，没有句法、语法错误，而从数学的严谨性，这样的语言在数学中出现是不能被允许的，但可悲的是，为了架构整个数学大厦，这样的语言不可避免地会在数学语言中出现，这被称为“第三次数学危机”或者叫做“集合论的悖论”。

语言的最大功能是交流的工具，诚然语言不是交流所必需的。禅学中讲究“不立文字，直指人心”，大家都知道六祖惠能讲解金刚经的故事，但是后世学习禅学还是要通过那些禅学的书籍或者通过禅师的身体语言——棒喝。进一步地有语言可以提高对话交流的能力、提高论证能力，更为重要的是“语言同时将影响甚至决定掌握这类语言的人们的思维方法”。数学语言在描述、论证方面的优点已经广为人知，而数学语言影响甚至决定人们的思维方法研究正是一门新兴学科，它将会蓬勃发展。本文的目的也正在于此。

一般认为中文由于象形文字比较浪漫，拉丁语系由于采用更加抽象的符号比较严谨。所以，古典中国画写意，用泼墨、挥毫作画，可能酒喝得越多，画作得越好。画作亦以山水见长，可以配上“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”的题跋，可以画出“踏花归来马蹄香”的意境。而西方古典绘画讲究真实、比例、透视，长于人物，用色彩、光线表达情调。达·芬奇说过：“欣赏我的画的，没有一个不是数学家。”当然随着文化的交流，西方逐渐出现了象征主义、印象派、抽象派等。运用数学语言，西方古典绘画的本质是射影几何，而后现代主义还是没有脱离数学语言的发展，是函数变换以后换一个角度表现特征。正是这种语言的特质影响了人们的行为方式，中国人有“好读书、不求甚解”的说法，而德国人的作为有如同“火车时刻表”的习惯。

讲到语言，就会联系到翻译，理论物理学家做的就是物理语言的数学翻译。近代科学的历史就是数学语言越来越多地被应用到或者翻译到各类科学，甚至直接用数学语言来研究具体科学。说到翻译，应该注意两点：（1）语言间的翻译不是1-1对应的，我们设想两种语言的单词间的翻译可以用矩阵表示，但这个矩阵不是单位阵。一个词可能对应不同的同义词、近义词，矩阵中的元素说明不同语言两词间的近似程度。（2）语言间意译的质量与语言本身的完备性有关。以打招呼为例，我们经常教外国人用“你好！”打招呼，而他们在实用时往往说成“你好吗？”，这与他们本身的语言习惯有关。可见翻译、语言比较是一门大学问。外国人说“你好吗？”我们知道是什么意思；但如果是一个中国人对你打招呼时用“你好吗？”，你可能会回答：“什么意思，我有什么不好的？”打招呼可以说“你好”，“干嘛呢”，“吃了吗”，“嘿”，“怎么又是你啊，你这小鬼”，甚至点一点头、眨一下眼睛。这些都只是现象。本质是他想与对方加深关系的意愿的程度表达，也就是说可以量化，可以用数学语言表达。小说家或者电影导演就是运用这种量化的数学语言，在描写一对恋人的各次碰面时会采用不同的打招呼方式及身体语言，来反映他们两人关系的发展程度以及感情的反复曲折。

讲翻译不得不讲数学名词的中文翻译。数学中用英语写成“data”的词在大陆与台湾就有不同的译文，大陆翻译成“数据”，而台湾翻译成“资料”。对于“approximation”，大陆翻译成“逼近”，而台湾翻译成“近似”。可见第一个词台湾翻译得比较好，有发展的余地。而第二个词大陆翻译得比较好。逼近，逼着近，是一个过程，而不是一个简单的近似。在给学生讲逼近论时教师经常举这样的例子：“在马路上看见一个美女，多看她几眼，甚至跟了她几步，那叫‘近似’。继续与她搭话、给她送花、送戒指，如若她还不理你，就自杀，不达目的誓不罢休，这叫‘逼近’，这个‘逼’字，充分体现了‘approximation’的神韵。”(www.daowen.com)

语言还和辩论联系在一起，数学语言可以辩论吗？当然可以。数学家的工作就是整天用数学语言自己与自己辩论。当然其最后目的是与他人辩论，与自然世界辩论。一般精彩的辩论往往是抓住别人的小辫子，甚至挖一个陷阱等着别人跳，而数学语言辩论的特质是让我们一起来剪去双方的小辫子。数学家不能给他分配成正方或反方，而是随时准备坚持真理、随时准备修正错误。历史上运用数学的著名辩论莫过于“上帝存在性的证明”。关于经济是市场的好还是计划的好，政治是集中控制型的好还是民主影响型的好，都有过运用数学语言的精彩证明或辩论。事实上，数学可以证明或者辩论“民主系统下也可能产生希特勒，独裁系统下可能会发生苏联解体”。

语言的基本功能是描述事物。数学描述事物采用的一个基本手段是调和分析，或者说和谐展现。从简到繁，顺序渐进。数学的本质就是从杂乱中发现和谐，从复杂现象中发现简单规律。譬如，声音的傅立叶级数展开。什么叫音色美，用较少的傅立叶级数项可以展开的音色就美，这时它的声波函数的图像也美。到卡拉OK厅或者录音室唱歌，唱出来就是好听。因为调音师可以归并你的声音的傅立叶级数项，而抹去你的杂音项，使之成为一条美的曲线。也可以说是特征分解、主成分分析。曾经听说过一个故事：一个生物学家、一个物理学家、一个数学家在草原上看见一群黑色的羊，生物学家说：“啊，草原上的羊都是黑色的。”物理学家说：“不对，你应该说在草原上我们看到的羊都是黑色的。”数学家说：“你也不够准确，应该说我们看得到的羊的那半边是黑色的。”我想那位讲故事的应该是漫画家，但是他说的却是数学语言，也就是上面说的特征分析、主成分分析。他抓住了3类科学家的某些主成分——重要特征，可惜不够全面。笼统地说生物学家比较宏观，数学家不是不懂得宏观，但同时尽可能地体现微观。事实上，目前数学、物理、生物对于这样的问题都采用相同的方法——假设检验这个数学语言。而习惯于数学语言思想的数学家还会进一步地给出猜想“这里冬天可能不下雪”，推论“如果下雪，那么这个草原上没有狼”。请读者也用数学思想方法想一想，为什么数学家还会有这样的猜想与推论。假设检验的本质也就是不知道这些结论对不对，但是我们先把它列出来，然后来分析其可能性——用概率定量化。数学不仅是简单的归纳，也不仅是严格的归纳，而是严格归纳以后的演绎，是基于演绎推理的系统下的已知及未知世界的描述：有并且确切有什么？关系如何？从而可以推断出什么？可能还会有什么？进一步地还可以推断出什么？

平行线是什么？铁轨？不对！直线是什么？光线？不对！而这正是欧几里得几何的基础。惯性是物体没有受外力的作用下永远沿一条直线运动，但是从来没有人看到过某个物体永远沿直线运动，这是不能通过实验获得的，而它却正是导出万有引力的基础。牛顿（Isaac Newton，1643—1727）是历史上少数的幸运地被苹果砸中头的科学家。古希腊时就已经考虑为什么扔上空中的物体会掉下来，水为什么会有浮力，但是想了上千年都不得其解。伽利略（Galileo Galilei，1564—1642）提议：让我们来看看这些变量间的数学关系。这一句话体现了科学研究的数学精神，从此物理学家学会了数学语言。牛顿事实上是被伽利略的这句话砸中了头。

数学语言的本质是科学的描述，然后演绎，从而推理解释。只是观察加冥思苦想得出的解释缺乏科学性，科学的解释必须建立在科学的描述上。进一步地，科学的描述还可以推导出根本不能观察得到的物理世界的新的结论。单个现象或实验几乎没有什么价值，价值在于把它们联系起来的结论。为了不受思想惯性的影响，数学家及全体科学家有意将实际问题抽象得面目全非，再通过变换、映照转换到另外更大、更复杂的空间中去分析问题。而这个变换往往是理想化、标准化、简单化及思想高度化的。许多平面几何的难题，在立体几何中解决它就容易得多，而在解析几何、微分几何中根本就不能称之为问题了。

数学的理性体现于“大处着眼、小处着手”。首先利用抽象的方法以期达到普遍性，在获得了结构性的普遍理论以后，再在应用时注意个体特质。用一个例子说明：点与向量在数学中都可以用三维数组或者欧几里得坐标表示，向量可以有加法、数乘等运算，而对点作这样的运算是没有实际意义的。数学处理点的问题时，先统一到向量空间，如果A，B是两个点的坐标，那么A／2，B／2都是没有意义的，但是A／2+B／2却变成了有意义的中点。如果不引入向量数乘及加法，人们就很难写出中点的坐标。解决数论问题用解析数论的方法（离散问题连续化），解微分方程利用变分原理（将线性问题变成两次最优问题），都是将问题变成一个看起来更为复杂的问题。走路到麦加朝圣比较困难，数学家说：“让我们先造飞机吧。”借此，我也对社会上有许多人致力于用简单方法解决世界数学难题说几句。你能够走路到麦加朝圣回来，数学家会说：“不错。”但是数学家更加感兴趣的是火车提速，造出超音速飞机。数学家对解决数学难题过程中出现的新的数学方法及思想的兴趣远远大于解决问题本身。因为你还可以乘火车及飞机去耶路撒冷、去罗马、去西安以及世界的任何地方。

我们说数学是独立于具体学科的通用语言——是科学的世界语（世界语与特定国家民族无关，数学语言与特定学科无关）。所以数学语言可以、应该甚至必须能运用到每一门具体学科。任何学科只有用到数学，充分利用数学语言，才能达到科学的水平，不管是自然科学还是人文科学。任何学科只有与数学结合在一起，才具备真正的科学性。科学的历史证明：当哲学脱离了某项研究，表示一门新学科的诞生；而当数学进入某学科，表明该学科的成熟。

每个人都在讲数学语言，理论物理学家是数学语言运用最好的人群，就好像北方人讲普通话。还有天文、工程、经济、金融、生物，事实上还有其他任何科学的科学家。那么你要问：数学家干什么？数学家只是语言学家，他们致力于使得数学语言更完美。而语言的产生很多不是来自于语言学家本身。大学里的语言学家，通常不会说相声，也通常不是流行语的发明者。牛顿更加应该归类于力学家，数学上的成就只是他的副产品。而应用数学相关的工作是翻译，是数学语言的翻译家、语言比较学家。同样，应用数学的创始人不是工程师，也不是关心应用的数学家，而是思想家笛卡尔，正因为他的笛卡尔坐标系考虑了物质的本质、真理本质。他的基本思想如下：（1）我思故我在；（2）有现象必有原因；（3）结果不能大于原因；（4）完美空间、时间、运动的概念原存于人的心中。这些正是数学语言影响下的思维方式。

很多人都认为数学语言空洞、艰深、难懂，但是数学家却认为它“好玩”，每个人都会玩的东西就不怎么好玩。对数学望而却步，肯定会滞碍你搞其他学科的能力。数学是用演绎方法研究抽象问题、思考抽象事物，这比思考具体事物看起来困难得多，但有时却反而简单，更为重要的是我们获得了一般性的结果。这也是通常我们所说的思想高度。跳出自己的世界看问题，是数学的本质。从地心说再到日心说到宇宙说，就是逐步跳出自己的世界看问题的过程。

学数学要学什么？数学教育应该是思维能力、推理能力、判断能力、演绎能力的培养，绝不仅仅是中学教育中的那些知识点。知识点只是算术，只是一种技术，而数学是学问、是科学。数学教育应该成为培养思想家的思维训练课程。柏拉图在罗马科学院门口写有牌子：“不懂几何的，不可入内。”就是要研究哲学及各类科学的人们首先要有数学思维方式的训练。当然其前提是掌握数学语言，更重要的是用数学语言思考问题。

现代西方文明发展与数学密不可分，数学是一支基本的文化力量。人们在回答“数学有什么用”时，比较突出其工程、物理等直接的、看得见的应用，事实上“用数学语言影响及决定的思维方式考虑问题”是数学对西方文化及科学发展的最大贡献，其哲学思想、思维方法是现代科学中任何学科的基础核心。对于数学发展的动力，人们往往也只是注意到实际应用、科学发展，而忽略了审美、情趣、好奇心、智力挑战、心灵满足等方面。在人类文明中，数学如果脱离其丰富的文化基础，就会简化成一些技巧，不能完全体现其本质的内涵。认为数学仅仅是一种描述世界的工具是远远不够的，甚至可以说是肤浅的，它只是数学的外延，其前瞻性、创造性以及演绎功能才是数学的核心。实用的、科学的、美学的、哲学的因素促进数学的发展。自由的思想为探索世界预先提供构架，这就是所谓的“创新”。数学使得人脑对世界进行再创造。自由的思想可能是错的、不实在的，甚至可能是根本无用的，但是这也可能是未来世界的基石。一时的功利标准可能会断送极具创造力的成果。

最后还是讲一个语言的问题：如果在诺亚方舟上最后只剩下一个男人和一个女人，其中一个人会一种比较僵化的语言，由于这种语言的影响使其拒绝学习，而另一个人会一种比较好的开放语言，由于这种语言的影响使其更加具备学习的能力与兴趣。那么，他们在以后的生活中将会使用哪种语言呢？他们繁衍的后代将会使用哪一种语言呢？引用耶稣最后对彼得的告诫：“要保持清醒哪。”

复旦大学数学科学学院　吴宗敏

（本文摘自《科学》2009年第61卷第5期，此处文字略有改动。）