碰到一位哲学教授，他不同意上文所述的宇宙更有可能是一串裤衩链接起来的，也就是环链的观点。他说，那我们不管，裤衩总要放在一个空间里，我们在环链所在的空间，再建立欧几里得坐标，那么，环链外面的东西，只是我们没有探测到，但它仍然应该是宇宙。所以，宇宙总是无限的，宇宙总是欧几里得的，只不过维数高一些而已。还真是“生也有涯而知无涯”。

人当然要有这种精神，不能把我们不知道的东西就一笔抹杀，就认为没有。但也不能把我们不知道、不认识的东西说成任何的东西，也不能想象成我们脑子里对固有认识的一个粗浅的复制，对吧？总能放进高维的欧几里得空间好像是基于假设：我们的三维空间是欧几里得的。这是因为我们看不太远的缘故，把弯曲的东西看成平的。然后又根据我们的常识，我们看到的东西都在这个三维空间中。

这位哲学教授的话有两处还需严密化的地方。

第一，裤衩（两维流形）一定要放在三维空间里吗？一定可以放进三维空间里吗？是的，我们看见的裤衩都在三维空间里。但既然称为宇宙，宇宙就是所有的总和的意思。所有的总和这个概念可以放进什么东西或者什么新概念里面吗？在数学中，这是著名的集合论的悖论，是哥德尔在第三次国际数学家大会上提出来的：包含所有集合的集合在不在它自己的里面，或者说是不是它自己的子集合。一个村子里只有一个理发师，他给所有的不给自己理发的人理发。下面还会给出一个看似简单的问题，但事实上也已经涉及这种既是数学同时也是哲学的本质问题。

第二，即使如果可以放在某个更高维的空间里，这个空间就一定是欧几里得空间吗？在应用数学家眼里这就涉及如何构造欧几里得空间的问题。事实上，我们从来都没有构造出来过一个真实的欧几里得空间。是的，我们有欧几里得空间的蓝图，这是纯数学的概念。但还没有实现的工艺或者说实现的方法，即如何保证画出的直线真的是直的。你要构造欧几里得空间，首先要画出坐标轴，对吧？

还有一个更加初等的问题。一个n维的流形可以放进或嵌入一个n+1维空间吗？这个问题已经得到解决，回答是不一定，一般不能。譬如，讲打了一个结，再把两头连起来的绳子不能摊到或嵌入一张没有奇点的曲面上，即不能放进两维流形。否则这个两维流形一定有奇点，有什么地方会搅在一起；更不可能放进两维空间，摊到一张平面上。一个打结后再连起来的绳子是一维流形的示意表示，看来它只能放到或嵌入至少三维的空间。要给出一个两维流形不能嵌入三维空间的例子就困难得多。要注意这时我们就在想象宇宙之外的事情了。一个著名的例子是“克莱因瓶”，一只两维的虫子在瓶壁上可以不通过边缘或者说瓶口就能从外面爬到瓶里，事实上“克莱因瓶”是没有里外之分的。你会问我“克莱因瓶”的答案是什么？或者自己在网上搜索找到答案。但我不建议你立刻这么做，最好是自己先好好想想，因为你正在干一件非常伟大的事情，在想象宇宙之外的事情。难道这不能使你激动起来吗？而且我告诉你，网上或书中找到的也只是一个示意，因为这个两维流形是不可能在三维空间中实现的。作为提示是莫比乌斯带（见图1），你剪下一条纸带，如果把它们两头连起来，那么它是圆柱面的同胚。但是如果你在黏结两头时把纸带的一头扭一下或者翻转一下，再黏结起来，也就是把正面与反面黏结在一起。这样一只两维小虫就可以从纸片的一面爬到反面去，而不用翻过边缘，或者说跑出这个两维流形。

图1

根本的问题还是怎么画直线。有两个基本问题：你看到的直的东西都是直的吗？反之，你会不会把弯的东西看成直的？对前面一个问题，我们曾经在物理课中看过一半泡在水里的筷子，筷子本身是直的，但你看上去却是弯的。对后面的问题，我们在《数学的宇宙观（1）》中讲过，甚至连伟大的数学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约前580—约前500）也认为地球表面是平的。所以“直”这个概念是不明确的，是相对的，是与空间中距离的定义联系在一起的。只有在欧几里得的距离下，“直”才是我们通常认为的真的直。联系到应用数学，好像我们就没有碰到过欧几里得空间，好像我们连直线都不会画。好像在画直线的过程中，我们只是一只一维的小虫，画着画着就画弯了，进入了鬼打墙。即使像光那么勇往直前，它也画不出直线。所以在这里要给一个我也正在思考而不能回答的问题。

问题：如果你是一只一维空间的小虫，就好像在光纤中，有什么办法知道这根光纤是弯的？怎么测量弯曲度？(www.daowen.com)

一维的问题有点难，两维的问题反而简单。人们已经知道作为两维空间的小虫怎么度量一张曲面是弯曲的方法。那只小虫可以在曲面上画三角形，画那种以它认为是直线（最短路径）的3条边围成的三角形，然后计算面积。面积可以这样计算：将三角形再分划成小三角形，计算小三角形的面积总和；将小三角形越划越细，越划越小，再计算三角形的面积的总和，这些三角形面积的总和就会趋于大三角形的真实面积。另外还有一个在中学里学过的办法，用假设是欧几里得空间三角形面积的海伦计算公式，设s＝（a+b+c）／2，其中a，b，c是三角形的3条边长，那么，面积就是s（s-a）（s-b）（s-c）再开根号。如果这个值与用上面的方法计算得到的面积值不同，那么，曲面在这里就是弯的。你可以观察球面，对于球面，上面的三角形通常是胖三角形，也就是3条大圆围成的三角形。这时内部的真实面积会与直接用海伦公式计算出来的面积不一样。这样，那只两维空间的小虫就可以感觉到，那张曲面是弯的，这里“弯”的意思就是不能把它摊平。如果是圆柱面，通常我们也把它归为弯的，但是可以摊平。这时用两种办法计算出来的面积值相同。如果曲面上任何的三角形用这两种办法计算出来的面积都相同，那么这样的曲面是可以摊平的。这里我们认为可以摊平的曲面不是弯的，而把它看成是平的，也可以在这样的曲面上建立欧几里得坐标系。

两维空间是否是弯的，我们可以用胖三角形的概念来测量或感觉。而一维空间及三维空间是否是弯的，我们还需要想出更加合理的方法来刻画与描述。

问题：怎么通过两种面积计算的不同来描述曲面在某处的弯曲度？以球面作为例子，你能通过两种不同的面积计算结果来算出球的半径吗？数学上也有用球的半径的倒数即曲率（弯曲的强度）来度量曲线的弯曲度。

问题：如果是椭球呢？

如果我们可以度量空间的弯曲，并且知道它是往哪个方向弯的，那么就可以构造曲面或者说根据弯曲度慢慢地“长”出这张曲面，从而把弯曲的曲面放到更加高维的空间里，或者用数学的语言说，就是嵌入高维空间里。但问题又来了，刚才我们已经给出过例子：一个一维的流形不能放进或嵌入两维流形中，那么，它一定可以放进三维空间中吗？是的，用绳子做一维流形，再怎么打结，都可以嵌入三维空间中。原因是我们用的材料——绳子是在三维空间中的，我们的结也是在三维空间中打的。那么，我们是否可以拿更高维空间的绳子来打结呢？我们是否可以在四维空间打这个结呢？或者打一个五维空间的结呢？这样的一维流形可以放进或嵌入三维空间吗？甚至是不是存在某个一维流形，它根本就不可以放进任何维的空间呢？我在读博士期间有个师兄，就曾经在计算机前坐了几个星期，只是观察四维空间的正方体，从不同方向投影到两维空间的影像。你要知道，他可是在想象世界之外的东西。

显然在三维空间完成的结，可能不可以嵌入两维流形，那么在四维空间或五维空间完成的结可能就不可以嵌入三维中。我们先不讨论怎么构造四维空间的结，因为这是低一层次的问题。我们要问：如果可以构造不能嵌入三维空间的结，是否可以由数学归纳法构造不能嵌入四维、五维乃至任何维空间的结呢？

上面这些问题数学当然已经解决。我是说，对一维流形的问题是已经解决了。但是对高维的流形，研究结果就很少了。一个著名的例子就是我们的四维时空流形。现代的数学家认为应该要放进或者嵌入十一维空间，或者说在十一维空间才能实现。

复旦大学数学科学学院　吴宗敏