通常我们所说的三观即宇宙观、人生观、价值观。这是思想家的根本问题，或者说是哲学问题。而社会、科学的发展就是这三观的发展过程，就是对这三观的认识的发展过程。数学被认为是科学领域的哲学，也就是说，数学的基本问题也是要回答：世界是什么样的，或宇宙是什么样的？我们从哪里来，要到哪里去？本文只是从数学角度对宇宙观进行肤浅的探讨。

宇宙观一般分为微观宇宙观及宏观宇宙观两种不同的观察角度。微观是指宇宙由分子、原子、电子等构成，基本粒子还可分，我们会稍后再来讨论。

当人们问宇宙是什么样的时候，一般是指宏观的。人们一般会回答：我们的宇宙是一个三维的世界，这是欧几里得告诉我们的。再稍微换一个角度问：宇宙是有限的还是无限的？在两三百年前人们一般认为：我们的三维空间被称为欧几里得空间，也就是说无限的。可以这么说，欧几里得是第一个用数学讨论宇宙观的人。如果我们处在一个用欧几里得思想建立的空间，那么宇宙就一定是无限的，否则你就可以问：那再走过去是什么？边界的外面是什么？人们想象着有一天，像孙悟空那样一个筋斗翻到天尽头，然后可以打破如来佛的法力，看看如来佛的五指山后面是什么。当然也有人认为宇宙处于爆炸形态，人们探索宇宙的速度赶不上宇宙本身爆炸的速度。也就说跑来跑去跑不出如来佛的手心，因为如来佛的手掌变大的速度比孙悟空的筋斗云还快呢。但是这个空间在如来佛的眼睛里还是三维的，还是无限的。

当黎曼（Bernhard Riemann，1826—1866）及罗巴切夫斯基（Nikolas Lvanovich Lobachevsky，1792—1856）各自发现不同的非欧几何以后，人们对宇宙可能是什么样的，给出了更加深入的研究，更加基本的是对“光线走的是直线”的怀疑。我们还是先从欧几里得几何讲起。

欧几里得几何的基本构成是直线与直角。毕达哥拉斯定理甚至被像宗教圣典一样对待。这是多么神奇啊！三角形的三条边，满足a平方加b平方等于c平方时，我们居然得到一个直角三角形。而我们所处的空间就可以由这么简单的规则——三角尺刻画或度量出来。根据毕达哥拉斯的原理，后来笛卡尔（RenéDescartes，1596—1650）为欧几里得空间“安装”上笛卡尔坐标系，为欧几里得空间中的每一个点都给出一个“ID名”——它的坐标，以及它们的“亲戚”关系——向量的加法与数乘。这非常重要，“无名天地之始，有名万物之母”，欧几里得（Euclid，约前300—前275）开创了数学的宇宙观，而笛卡尔使人们可以对宇宙观进行严密的数学化研究与讨论。回到毕达哥拉斯定理产生的那个时代，当时是希望解决尼罗河下游洪水泛滥后耕田的重新划分问题。洪水过后，出现的是一望无际的广袤的平原，毕达哥拉斯（Pythagoras，约前580—约前500）把平原看成平面。这也是人类对大地最初的认识，所谓“天圆地方”。但是现在我们都知道地球是圆的，并不是方的，或者说并不是平的。

要分析我们所处的空间是什么样的，先来分析一个两维空间的小虫所处的空间是什么样的。一个三维空间的伟人——毕达哥拉斯尚且把一个球面的一部分看成平面，那么一只两维空间的小虫会怎么看待它所生活的两维曲面呢？它可能也跑不太远，它再聪明也聪明不过毕达哥拉斯，也自然会认为曲面是平的（已经是泰勒一阶展开，用切平面模拟曲面，对一张很大的曲面，局部地用平面去模拟，还是非常准确的）。对于处在三维空间的我们，在高维空间的上帝的眼里，就好像我们看两维空间的小虫。要两维空间的小虫来回答它所处的被它自己认为是平面的曲面，更有可能的是球面甚或其他什么曲面，那是非常困难的，或者说几乎不可能。人类的科学发展已经比两维空间的小虫聪明多了。我们发现毕达哥拉斯的根本思想局限是将测地线看成直线（但我们现在不还是一直这么认为吗？光线走的路径是直线吗？），这样我们就发现不了所处曲面的弯曲。毕达哥拉斯定理在欧几里得空间是对的，但在地球上用来划分土地，那就是毕达哥拉斯的不对了。科学家发现了胖三角形的概念，如果三条测地线围成的三角形的面积大于欧几里得空间的三角形的面积，那么我们可以用这两个三角形的面积比来度量曲面在该处的弯曲情况。这里还有一个更加深刻的问题：毕达哥拉斯定理有正确的地方吗？刚才已经说了它在欧几里得空间是正确的。我们通常会把欧几里得空间混同于我们所处的空间，欧几里得的影响真是太强大了。伟大的数学家毕达哥拉斯尚且把球面看成平面。那么，我们所处的空间就一定是欧几里得空间吗？我们的三维空间会不会也是弯曲的呢？现在就可以来回答这个问题：如果定义光线是直线，那么我们所处的三维空间一定是弯曲的，我们被欧几里得“骗”了好几千年。

我们还是先帮助那只两维空间的小虫来观测它所处的空间。单值函数曲面可以同胚于平面或球面的一部分。地球的表面，即使有山有水，它同胚于球面。同胚就好比可以用泥胚弯捏而成。单值函数本身的意义就是平面到曲面的同胚或映照。

我们常见的曲面通常有：抛物面，向一边弯曲，但弯得越来越少，这样的宇宙还是无限的；椭球面，向一边弯曲，并且保持一定的弯曲度，那么这样的宇宙是有限的；双曲马鞍面，向两边弯曲，这样的宇宙可能还是无限的。这些都被称为三次曲面。

还有更为复杂的问题。把刚才提到的曲面局部剪下连通的有限的一块来（因为我们可以探索的只能是宇宙的连通的有限的一部分），那么它可以同胚到球面的一部分，同时也可以同胚到平面的一部分，而有时同胚到平面后是一块可能带洞的区域。所谓的黑洞就是这些洞，人们进不去。

我们是怎么探索宇宙的，当然要跑过去看看。就好像跑马圈地，带着一根绳子骑马跑一圈，然后收缩这根绳子，这样就可以把这个区域的兔子都赶出来。也可以在绳子上装上摄像头之类的感应器，我们就把一个区域探索清楚了。

庞加莱猜想：两维空间中任何一条封闭的曲线可以收缩为一点，那么这个两维空间一定同胚于球面或球面的一部分。

那么有没有这样的两维空间，在那里一些曲线不能收缩为一点呢？这样的空间是有的，譬如，像面包圈表面那样的环面。环面上有两组封闭曲线，不能收缩为一点，它们互相之间也不能同伦——好像就是同胚，但曲线在变化的过程中要保持在讨论的低维空间（曲面）上。几何上称这样的曲面具有亏格，或者说有洞（曲面包围的实体在三维空间有一些洞）。数学上用不能收缩为一点又互相不能在曲面上同伦的曲线组的数目来区分曲面的类型，用洞的数目来定义亏格。现在再请出庞加莱。(www.daowen.com)

庞加莱猜想：两维空间中有两组封闭的曲线不能收缩为一点，那么这个两维空间一定同胚于环面或者环面的一部分。两维空间中有多组封闭的曲线不可以收缩为一点，那么这个两维空间一定同胚于n-环链或n-环链的一部分。

n-环链就好像在烤面包圈时，有n个面包圈互相黏在一起。它的基本构件就好像许多条短裤衩（半个面包圈），然后腰和腰缝在一起，裤腿和裤腿缝在一起。当然我们把球面看成0-环链。反过来，n-环链就是在圆球上打n个互相不连通的洞。

如果那只小虫对它所处的两维空间进行了大量的跑马圈地式的研究，又请教了庞加莱，现在我们可以回来帮助两维空间的小虫回答它所处的两维宇宙可能是什么样的。我们可以看得到的两维曲面都是某三维实体的表面。它们无一不是n-环链，桌椅板凳、房屋杂物，你仔细看看你的周围，都是环链。我们没有看到过无限延伸的平面，我们没有看到过无限延伸的抛物面，我们也没有看到过无限延伸的双曲马鞍面。这些曲面都是在欧几里得思想引导下想象出来的产物。简单地说，并没有现实的实际存在。所以，对于两维空间的小虫，它的宇宙更有可能是一个环链，当然也可能是最为简单的形式——球面。这样的曲面一般来说是有限的。这样的环链我们可以用橡胶薄膜做成的气球来演示，这就叫“膜论”，也有人说是肥皂泡理论。

对于我们的三维宇宙，同样更有可能的是在更高维空间中像环链那样的东西。超膜理论认为人们直接观测所及的好似无边的宇宙是十一维时空中的一个四维超曲面，就像薄薄的一层膜。可能你会与我争辩：“那么你的意思，宇宙是有限的了？”我的回答是：“我没有说过，我说更有可能。”那么宇宙无限的可能是否存在呢？我的回答是：“那要看上帝住在哪里。”如果上帝只住在半空间，譬如在z＞0的地方，那么那只两维小虫可能住在平面z＝0上。因为在小虫住的空间里，是看不到上帝的，平面z＝0是上帝让给小虫住的地方。对吗？一般来说，一个无限的低维流形将高维空间分成两部分，甚或更多的部分，平面如此，环链面也如此。如果上帝愿意住在其中的一个部分，那么这个低维空间就是上帝让出来的。如果上帝要经常不断地在两个区域（被低维流形划成的两个部分）跑来跑去，那么这个低维空间就会不断地受到打扰。这是上帝与小虫都不甚乐意的。

问题1：环面上有两组封闭曲线互相不能同伦，那么2-环面呢？n-环面呢？

问题2：在圆球上沿3条直径打3个贯穿的洞，它同胚于n-环链，这时n为多少？如果不是沿直径呢？

这样的数学的宏观宇宙观只是一种基于物理及数学的某种假设的宇宙观，即我们的三维空间是放在高维空间实体的表面，就好像我们看得到的两维流形都是三维实体的表面。可能在其他的假设下还可以有不同的宇宙形状的解释，那时空观就更加复杂了，从而穿越就有可能发生，也是可以发生的。不要去查书报或者网络，你不妨自己先试着想象一下，可以给出一些什么样的宇宙观或时空观呢？

讲过宏观宇宙观，就轮到讨论微观宇宙观了。这还必须与物理联系起来。物理的基本研究对象是物质。什么是物质？一般先是举例说明，我们身边的这个或那个实物是物质。而什么是物质，当然是物理学的基本问题，这里我要提醒大家的是：这也是一个尚未完全解决的问题，而且可能是与时俱进、永远不可能完全解决的问题。我们基本的想法是将我们认为是物质的东西进行分割，分得越来越小，一直到不能分割为止。这里“一直到不能分割为止”就有歧义，从数学的角度，我们知道是一直可以分割下去的。如果是对半分，那么分了n次后，是2的n次方分之1大小的一粒物质，我们下面要把它叫成粒子。“日取其半，用之不竭”。但是实际上并不是这样的。我们把还是保持其原有物理特性的（如铁还是铁）最小组成称为分子。再分隔，分是可以分的，但铁就不是铁了，就不是我们通常所认识的物质了。做了一些研究后我们可以说：物质由分子构成，通常的含义是带有质量并保持某种物理特性，是实在的东西。后来发现那些物质粒子还是可分的，至少可以分成原子、质子、中子、电子、光子，称为基本粒子。特别是原子的发现，电子围着原子核转，就好像地球围着太阳转。研究原子与研究太阳系很相像。描述电子轨道与地球轨道也很相似，就是所谓的多体问题：几个球或者粒子在牛顿万有引力意义下的相互关系与运动行为。讲到粒子，我们总有一种感觉，那应该是固体的，好像高尔夫或斯诺克球，我们会研究它们的碰撞。而事实上地球就不是，地球内部是一团融化了的铁水；太阳也不是，它甚至是燃烧的氢氦气，它们可以是液体甚或气体的。人类总是拿自己熟悉的东西去想象我们不熟悉、不知道的东西。那么原子、原子核乃至电子放大以后也可能是固体、液体或气体，对吗？一束光打在某种基本粒子上，如果这个粒子对于光来说几乎是液体、气体或者说透明的，那么光就会穿过它或者被它所吸收，我们还是看不见它，测量不到它。所谓粒子，就是质量相对集中，不是集中到一个数学的点，其内部还是有质量的不同的分布。在太阳系，地球是粒子。在地球上，斯诺克球是粒子，药丸是粒子，而在斯诺克球、药丸那里，分子、原子才是粒子。再后来发现（从哲学上讲也是），这些被称为基本粒子的东西并不基本，还是可分的。后来又有了中微子，进一步地还有如通过弱相互作用衰变的粒子π±介子、通过电磁相互作用衰变的粒子π0介子、η介子，甚至还有通过强相互作用衰变的“共振态粒子”（如Δ粒子、Σ粒子等）。这里这个甚至，是说越细分以后的粒子寿命越短，几乎都到了10的负30次方秒级别。而且越是小的粒子、越是寿命短的粒子，其波粒二象性的特征越明显。因为它好像会原地消失，就好像一个人晚上把手电亮了一下。从共振态粒子这个名字就可以看出，虽然把它叫成粒子，但更加确切的是一种形态，一种振动的形态，更多的不是固态、液态、气态，而被称为等离子态。我们家里的电视可能是等离子屏的，人们怎么知道那里有一个什么粒子呢？办法是用一束我们认识的粒子去打它，测量它们的碰撞状态。就好像蒙上眼睛用手中的乒乓球往前扔，从听到的声音来判断前面那堵墙是木头的、还是铁的甚或是棉花质地的。这时要用这样的方法去探索前面是否有一根蜡烛（乒乓球不大容易恰好打到）就有点难，若再要问那根蜡烛是点燃的还是熄灭的，那就更困难了。最根本的是我们希望通过回声波了解被测量粒子的位置，那就太困难了。不像打在墙壁上，那么小的粒子被你打了以后就移动到别的什么地方，这叫“测不准原理”。小的粒子去打大的粒子较容易打到，被打的大粒子还几乎在原地。人们一开始认为存在最最基本的粒子，把它叫做“夸克”，但始终找不到或测量不到。因为刚才说了要发现夸克，就需要用更小的粒子去打它。数学证明也应该是基于物理原理的，所以数学也证明不了它的存在性，因为我们不能先定义这是最小的粒子，然后又需要用更小的粒子去发现它、测量它。夸克这个定义，甚至从哲学上说都是通不过的。什么叫物质，好像总应该是能够看得见或者测量得到的东西。最基本的是有光发出来，或者用光打上去会反射或折射出来，这样我们才能看得见或测量得到。光实际上是一种波，我们比较熟悉的、可以比较的还有声波和水波。哪个地方有水波发出来，那里可能有鱼；哪个地方有声波发出来，那个地方可能有老鼠。发一个声音，哪里有回声，哪里就有物质。蝙蝠就是这么探测前方的物质的。发一束光，哪里被照亮或有反光，那么哪里就有物质。但是如果没有回声或回波呢？那里就没有物质了吗？如果看不见也就是说没有光呢？那就没有物质了吗？抽象地说，没有波是否就等价于没有物质？我们的经验感觉好像不是这么回事。就好像听音乐会，那把小提琴拉不拉它都在那里，但只有拉它我们才能听到音乐。更为注意的是，如果我们是用橡皮筋或棉花而不是用弓弦去拉它呢？

这样就有了另外一种假设：夸克无处不在，它好像是漂浮在空中的许许多多、非常非常小的小提琴，只有“弦”发出振动，我们才会感受或测量得到，认为那里有一些被称为物质的夸克粒子存在。这就是“弦论”。想象一下，在我们的周围到处都漂浮着小提琴，那是多么的浪漫啊！我们可以看到的世界就是这些小提琴的合奏曲。可惜的是其中的绝大多数，我们都不知道用什么样的弓弦才能拉响这把小提琴。而发现并构造这样的弓弦，这是物理学家同时也是数学家的任务。

复旦大学数学科学学院　吴宗敏