前面已经说过，欧拉还将巴塞尔问题进行了推广，研究了如下级数：

这个级数当s＞1时，其和都是有限的。因此，可以看作s的函数。因后来黎曼对这个函数的深入研究，现在称其为黎曼ζ-函数，记为ζ（s）。而欧拉得到了下面这个了不起的公式：

称为欧拉乘积公式，其中表示对p取所有素数求乘积。这个公式的伟大之处是将黎曼ζ-函数和素数建立了联系，或者说将分析学和数论建立了联系，这使得可以用分析的方法来研究关于自然数的学问——数论了。在黎曼对ζ-函数的深入研究后，一个在当时全新的研究数论的分支——解析数论诞生了。

那么，欧拉乘积公式是怎么得到的呢？这和埃拉托色尼（Eratosthenes，前275—前193）寻找素数的筛法有点类似。已知

乘上第一个素数2的－s次方（即2－s），得到

上式右端分母取遍所有偶数的s次方。与前一式相减得

现在分母是偶数的s次方项都消失了，乘上第二个素数3的－s次方（即3－s），得到

再相减得到(www.daowen.com)

现在等式右边分母为3的倍数的s次方项也消失了。这个过程无穷继续下去，取出所有素数后，得到

…（1-11-s）（1-7-s）（1-5-s）（1-3-s）（1-2-s）ζ（s）＝1，

等价地，有

这就是欧拉乘积公式。

黎曼ζ-函数ζ（s）的变量s可以扩充为除了s＝1外的所有复数，这个函数在s＝－1，－2，－3，…有零点，除此之外，黎曼猜测ζ（s）的其他所有零点都在s＝1／2＋y i，y∈（－∞，∞）所表示的直线上。这个就是著名的黎曼假设，这是当今数学界最重要的猜想之一，获得黎曼假设的证明是每个数学家梦寐以求的荣誉。

复旦大学数学科学学院　邱维元