无穷多个数相加称为无穷级数。我们知道无穷多个相同的正数相加，和一定是无穷大。那么，如果相加的数越来越小呢？此时级数的和有可能是有限的，比如，公比为0＜q＜1的等比数列的无穷和就是有限的。人们也早已知道，对如下的级数：

其和也是有限的。这是由于其部分和

上述级数的和到底是多少呢？这个问题首先由皮耶特罗·门戈利（Pietro Mengoli，1626—1686）在1644年提出，许多数学家尝试过这个问题，比如，微积分发明人之一莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716）考虑过这个问题，雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli，1654—1705）也考虑过这个问题，但他们都失败了。于是，这个问题被冠以伯努利家乡巴塞尔的名字公之于世，被称为“巴塞尔问题”。然而，1735年年仅28岁的欧拉解决了这个问题，并因此而成名。欧拉求出的和是π2／6，即

我们也称它为欧拉公式。这是一个惊人的成果，这不仅仅是因为欧拉解决了一个长期没有解决的问题，还因为欧拉得到的结果实在惊人：一些自然数倒数的和居然出现了圆周率π，真是不可思议！而更让人佩服的是欧拉求出这个值的方法是如此巧妙。下面我们就介绍欧拉的方法。

欧拉的方法是类比。我们知道如果一个n次多项式Pn（x）的零点是x1，x2，…xn，并且它们都不为零，则可以表示为

Pn（x）＝a0（1-x／x1）（1-x／x2）…（1-x／xn），(www.daowen.com)

这里a0是多项式Pn（x）的常数项。

欧拉联想到正弦函数有一个无穷级数表示：

而左端函数的零点是±π，±2π，±3π，…，与多项式类比，应有

将上式右边乘积展开，并和前面的无穷级数表示比较x2的系数，立即就得到欧拉的公式。真是绝妙！当然，欧拉的计算并不严密，以后他又给出了严格的证明，但欧拉思考问题的方法值得我们学习。欧拉后来把这个问题作了推广，他的想法被黎曼（Georg Friedrich Beruhard Riemann，1826—1866）所发展，定义了黎曼ζ-函数，我们在后面再作介绍。