在《芥子须弥——圆周率π的秘密》（以下简称《π的秘密》）中讲到，超越数比代数数多得多。实数几乎全部都是超越数。这里我们希望证明，实数几乎全部都满足：写成无限小数以后包含任何的整数。也就是说在《π的秘密》中定义的超越数也几乎占据了实数中的全部。

首先我们证明，一个无限小数中不出现0到9中的一个（譬如0）的集合是一个零测集，即把它们放在一起，其长度为零。

把（0，1）区间10等分，再10等分，如此一直等分下去。那么在小数点后第一位出现0的数在第一次等分区间的第一个区间，我们把这个区间挖去，记得挖去1的1／10长度。剩下的9个区间第一位均不是0，其中第二位出现0的是这些已经10等分后再10等分的第一个区间，我们再把这些区间也挖去。这时挖去了9个1／10长度中的1／10，即9／10乘以1／10的长度。继续到n步，我们将要从长度是9／10的n次方中再挖去1／10。这样继续做下去，我们去掉所有在某处出现0的数，其总长度如下：关于9／10的n次方求和，再除以10。容易得到结果是1。也就是说，剩下的在小数中永远不出现0的这些点的集合的测度（长度）为零。数学中称为零测集。零测集意味着我们可以用一个一个小区间将这些点“盖”起来，而这些覆盖小区间的总长度可以任意小。

另外一种计算步骤如下：利用数学公式，记第n步要挖去的区间长度为an，已经挖去的总长度为sn，即sn＝，那么挖去的是（1-sn）／10＝an+1，an应该趋于0，所以sn应该趋于1。

我们可以把小数中不出现0的数的全体的集合记成N0，把不出现n的记成Nn。反之，将出现0的记成Y0，出现n的记成Yn。那么刚才我们已经证明N0的长度或测度为0，Y0的长度或测度为1。在（0，1）区间任意取一点，那么这点落在N0的概率为0，而落在Y0的概率为1。反之，如果有（0，1）区间某集合，在（0，1）区间任意取点，落在该集合的概率为p，那么这个集合的测度或者长度应该为p。

在《π的秘密》中提到：一个随机地一位一位写出来的，或者说均匀分布随机产生的无限位小数，它不包含整数n的概率为0。所以Nn的测度也为0，当然Yn的测度也为1。

对这个集合Nn，我们可以找到一个总长度为2的n次方分之ε的小区间族把它覆盖起来。这样我们找到了一个总长度小于2ε的小区间族把所有的Nn覆盖起来。而ε是可以任意选的，或者说我们可以让它越来越小，趋于无限小，那么我们得到：所有Nn的集合的并集的测度为0；反之，所有Yn的集合的交集的测度为1。

定理：在（0，1）区间任意取一点，它对应的实数展开的无限位小数表示中，包含任意整数n的概率为1。用数学符号表示为∩Yn的测度或长度为1。通俗地讲，在区间（0，1）中，几乎都是《π的秘密》中定义的超越数。

问题：是否所有的超越数都是《π的秘密》中定义的超越数？我们基本认为不是。这是基于猜想：两进制数0．1001000100001000001000000100000001…应该是超越数。这里0的添加是按正整数的增长添加的。这个猜想也有可能不对，好像太有规律了。但我们还可以猜想：按素数增长的添加应该是超越数，或者至少0的个数是以n！增长的，应该是超越数。但这个数不包含11，111等。

问题：（作为习题）如果在每一位0到9的添加时，概率不都是1／10，譬如j出现的概率是pj，而∑pj＝1。那么上面的结论是否成立？(www.daowen.com)

回答：成立。

问题：上面将实数与（0，1）区间的点对应起来，实数用小数展开后第n个为j时，是在n－1次10等分后再10等分的第j段中。这是数学的一个基本方法，就是将代数中的数与几何上的点建立了联系。那么，在上一个问题中，当每次0到9中的数k是以概率Pk添加时，如何构造相应的几何模型？（提示：上面的模型使用区间的长度，现在可以构造函数，然后用函数下方的面积构造模型。）

问题：（作为习题）上面的讨论是针对十进制的小数，对两进制或其他任意进制是否成立？

回答：成立，这应该还是概率论课程的基本习题。

这里要说一句，已经知道答案的习题不重要，当然可以用来训练自己。重要的是给出问题与问题可能答案的猜想，更为重要的是你自己给出新问题与新猜想。不要忘了，这个问题的基本猜想是π是《π的秘密》中定义的超越数。当然e可能也是。

进一步的问题：是否有些代数数也是超越数？譬如。那么，上帝就可以拿一个譬如正方形来创造世界了。

进一步的问题：如果π是超越数，那么在N位时可能已经出现了Nn个n。当N趋于无穷大时，Nn是否趋于无穷大？Nn／N趋于什么？这个问题就涉及更加哲学或宗教的问题：如果宇宙寂灭了，是否还会凤凰涅槃？是否还会有多次涅槃？涅槃的频率是多少？当然这是基于假设上帝是用圆来创造世界的。

复旦大学数学科学学院　吴宗敏

（本文摘自《数学文化》2015年第4期，此处文字略有改动。）