上文提到的玻尔的原子模型在古典理论的基础上加入了量子的条件，但是把电子当作一个粒子的基本看法是没有改变的。然而，当实验证明了电子的波动性质以后，人们开始认为也许在微观世界里，电子是以一种波的形式存在，而不是以一种粒子的形式存在。这个想法也非常合理。上文提到玻尔的原子模型也还是存在一些不能解释的问题。后来，德国物理学家索末菲（Arnold Sommerfeld）对玻尔的量子条件做了稍微的改动，即把上式改变为一个积分方程。这个改动的好处在于，它不再要求电子围绕原子核运动的轨道为一个圆形，它可以是椭圆形的轨道，只要轨道的长度相等于n个波长的长度就成。这就给了玻尔提出的电子轨道一个几何的关系，这个关系也说明电子在原子里的运动符合了一个波的规律。

图3.8　薛定谔

Erwin Schrödinger,（1887—1961）是奥地利理论物理学家。他最重要的工作是1926年提出的“薛定谔方程”。这个方程成功地描述了一个电子的波动规律，成了量子力学里面最重要的方程，他因此获得了1933年的诺贝尔物理学奖。

索末菲的这个工作给了当时的物理学家一个启示：也许应该发展一套波动力学来解释原子里电子的运动规律，而不是用粒子的运动方程来做解释。这是一个新的挑战。很多科学家开始投入这个工作中。其中最成功的就是奥地利的一位物理学家薛定谔。他在1926年发表了一系列的文章把电子的波动力学的方程式推导了出来。这个方程式被称为“薛定谔方程”。它在今天已经成为量子力学的基石。

附录：薛定谔方程（Schrödinger equation）

在古典力学里，人们最常使用的是牛顿定律。而在量子力学里，最常使用的就是薛定谔方程。薛定谔方程的推导其实并不太复杂，下面是一个简单的说明。

首先，在写波的方程时，物理学家会用一个算符（operator）来对一个波函数（ψ）进行运算。其次，要把物理量（如能量、动量）转换为算符，就要根据一个“对应规则”（correspondence rule）来进行。如果是在一个最简单的一维空间里，只有x和t两个变量，那么这个对应规则可以写作：

其中p是动量，E是能量，i是复数。

我们知道，一个电子的总能量是电子的动能（T）加上电子的势能（V）。而一个电子的动能可以写成 ，因此，(www.daowen.com)

把式（A3.1）和式（A3.2）代入式（A3.3），就可以得到一维空间的薛定谔方程：

薛定谔方程很好地描述了电子的运动规律。不过，对于薛定谔方程中的波函数的物理意义，当时的物理学家，包括薛定谔本人都觉得难以理解。后来，很多物理学家开始尝试对此做出解释。不过对于这个问题，物理家至今没有找到一个很满意的答案。

在薛定谔方程出现以后，物理学界非常兴奋。物理学家开始尝试推导其他的粒子的波方程。例如描述自旋为零的粒子的克莱因-戈尔登方程（Klein-Gordon equation）。

当时的人们已经知道能量与动量的关系满足：

把式（A3.1）和式（A3.2）代入式（A3.5），可以得到一维的克莱因-戈尔登方程：