M／M／S排队模型为泊松输入、负指数分布服务、S个服务台、系统容量不受限制、顾客源数为无限的等待制排队模型，如图9－4所示.

图9－4

假定到达率为λ的最简单流来到S个服务台的服务系统.一个顾客来到时，如果有一个以上的服务台空闲着，顾客就被随机地指派给任何一个有空的服务台进行服务；若所有服务台均在服务，则顾客排成一个队伍等待服务，顾客服务时间与顾客到达间隔时间相互独立，遵从参数为μ的负指数分布.

设ξ（t）为系统在时刻t时的队长，它是一个随机变量.若ξ（t）＝j≤S，表示在时刻t有j个服务台正在进行服务，而剩下的S－j个服务台空闲着；若j＞S，则表示在时刻t所有的S个服务台均在进行服务，且有j－S个顾客正在排队等待.可以证明｛ξ（t）｜t≥0｝是一个生灭过程，其状态集I＝｛0，1，2，…｝.

由于顾客到达间隔T和顾客服务时间V分别服从参数为λ和μ的负指数分布，由式（9－14）和式（9－15）知，当t＞0，对充分小的Δt，有

换言之，在Δt时间内来一个顾客的概率为λΔt＋o（Δt）；在Δt时间内一个服务台服务完一个顾客的概率为μΔt＋o（Δt）.于是，若j个服务台都在服务，那么j个服务台服务完一个顾客的概率为

我们有状态转移图（见图9－5）.可见，对该生灭过程来说，有λj＝λ，j＝0，1，2，…，

图9－5

正如我们在前面已指出过的，我们关心的问题是此生灭过程的稳态概率.我们来考虑定理9－3的条件式（9－4）.易知有

我们称ρ为服务强度，表示每个服务台在单位时间内的平均负荷，也即每个服务台的利用率.

可知，当ρ＜1时，式（9－4）成立：

因此，在ρ＜1条件下，根据定理9－3便得系统队长的稳态概率：

显然，P0即该系统的空闲系数.

所有服务台均被占用，以致来到一个顾客需要等待的概率D为

若S较小时，也可采用下式来计算D：

根据L和Lq定义，可得：

设Uq为顾客的等待时间，则该随机变量的分布函数为

特别

它与等待概率的表达式相同，这是很自然的.

又可知

对于ρ≥1的系统，可知Pj＝0对一切j成立，这表示如果将这一系统维持一段很长的时间，系统中的顾客队伍就会无限长.

例9－3　某超级市场，顾客从货架上挑选各类商品，出门前到柜台前付款.现有两个收款柜台，若都不空闲，顾客就排成一队，否则，顾客可在任一个柜台付款.设此服务系统是M／M／2排队模型.为了估计该系统的效能，现在柜台前作了如下统计：以两分钟作为一个时段，依次记下各个时段里来到的顾客数，并记下了这些顾客在柜台旁付款所花费的时间.下面给出有关数据：

（1）顾客来到数：在相继的26个时段里依次来到付款柜台前的顾客数为：1 3 0 1 0 0 1 1 2 1 0 1 3 2 5 1 2 2 1 0 0 1 0 3 3 1；

（2）付款时间（分：秒）：4：35，3：02，5：27，4：33，2：35，1：45，0：15，3：45，0：15，4：20，2：39，4：51，5：45，0：23，2：30，3：26，1：48，1：16，1：24，4：17，3：07，1：40，5：53，2：31，3：28，0：54，0：38，6：55，1：33，6：20，0：59，2：03，1：29，5：24，3：50.

试估计该系统的效能.

解　由已知数据可知每时段（2分钟）平均到来顾客＝1.346，从而，该最简单流的参数(www.daowen.com)

顾客的平均服务时间

于是，该负指数分布的参数

本问题为M／M／2排队模型，所以

它表明这一系统运营一段时间后，系统中的顾客队伍长度会趋于无穷大.

为了使这系统能趋于稳定，现增设一个付款柜台，于是，问题成为M／M／3排队模型，因此有

柜台的利用率为0.678，系统的空闲系数为0.106.

例9－4　平均每小时有6列货车到达某货站，服务率为每小时2列，问要多少站台才能使货车等待卸车的概率不大于0.05？设该系统为M／M／S排队模型.

解　现系统为M／M／S，λ＝6，μ＝2，要使ρ＝＜1，可见站台数不能少于4.

我们对S＝4，5，6和7分别求出相应的ρ，P0，PS和D，如表9－3所示.可见，应设置7个站台.

表9－3

下面我们来讨论M／M／S排队系统的静态优化问题——系统设计的最优化.

我们建立系统的有关费用模型（考虑在单位时间内使服务费用和顾客等待（或逗留）费用之和最小），然后对有关的参数的优化进行决策.

服务费用是与服务水平（例如：代表服务机构能力的平均服务率，设备条件如服务台个数、系统容量）密切相关的，一般说来，它是可以确切计算或估计的，而顾客的等待费用对大部分排队模型就很难估算.

例9－5　若M／M／S排队系统的服务台个数可以调整，每个服务台在单位时间内的服务费用为C1（无论服务与否），顾客等待一个单位时间的费用为C2，求使总费用最低的最佳服务台个数.

解　等待队长是在变化的，而等待队长的期望值为Lq，因此，在单位时间内总费用期望值为

例9－6　一个服务台经营费用每小时15元，顾客等待单位时间费用50元，顾客到达为最简单流，每小时16个顾客，服务时间为负指数分布，服务率为每小时4个顾客，求单位时间总费用最低的服务台个数.

解　现在λ＝16，μ＝4，于是ρ＝.为满足条件ρ＜1，应有S≥5.又

我们用边际分析法来求S＊，计算过程见表9－4.

表9－4

由于0.3∈［0.12，0.4］，因此最优解S＊＝7.

如果我们采用枚举法，则得表9－5.所以，最佳服务台个数为7，单位时间最低费用为114元.

表9－5

例9－7　对于M／M／S模型，若顾客在系统逗留一个单位时间的费用为C3，每个服务台在单位时间的服务费用为C1，求使总费用最低的最佳服务台个数.

解　单位时间总费用的期望值

类似于例9－5，最佳服务台个数S＊应满足下列不等式：