对于一个随机服务系统来说，如果服务机构过小，不能满足众多顾客的服务需要，那么就会产生排队现象而使服务质量降低.因此，对要求服务的顾客来说，总希望服务机构越大越好.但是，如果服务机构过大，人力、物力方面的支出也就相应增加，有时就会造成不必要的浪费.因此，在排队现象中产生了服务质量的提高与系统的设备的利用率的提高之间的矛盾.换言之，产生了顾客的需求和服务机构规模之间的合理平衡问题.如何合理地设计与控制随机服务系统，使得它既能满足顾客的需要，又能使服务机构的花费最为经济，这是排队论的研究目的.

排队论研究的问题，从大的方面来说，可以分成两类问题：第一类问题是在服务机构未设置之前就根据顾客输入过程与服务过程的要求，结合对系统的一定数量指标要求（如规定服务质量的必要水平），对服务机构规模（例如车站股道数、机场跑道数、港口泊位数等等）进行最优设计，我们称它们为静态最优问题；第二类问题是对已有的服务系统如何实行最优控制，称为动态最优问题.我们可以对给定的排队系统进行分析，建立合适的排队模型并计算有关的数量指标，然后寻求最优运营策略或适当地调整服务机构（例如食堂就餐职工排队过长，可以增设服务窗口，又如公交公司在客流高峰时增开区间车或封闭某些停靠站）.

排队系统的优化问题，首要的问题是在对系统作定量分析后，计算队长、等待时间和忙期3个数量指标的分布或数学期望：

（1）队长.队长是指在系统中的顾客数目（包括正在接受服务的顾客和等待服务的顾客），它是一个随机变量，应确定其分布，至少应当知道它的平均值及有关各阶矩.队长分布是顾客与服务台都很关心的一个问题，特别对系统设计人员来说更为重要，因为知道了队长分布，就能确定队长超过某个数值的概率，这对于设计等待空间的大小将是很有意义的，否则空间小了无法容纳足够多的顾客，空间大了会造成浪费.而等待队长是指系统中等待服务的顾客数.

（2）等待时间和逗留时间.从顾客到达时刻起到他接受服务时止这段时间称为等待时间，它是个随机变量，是顾客最为关心的数量指标，因为顾客总是希望他的等待时间越短越好.

从顾客到达时刻起，到他授受服务结束止这段时间称为逗留时间（等待时间加上服务时间），它也是一个随机变量.知道了逗留时间分布，就能知道一个顾客在系统中停留时间超过某个数值的概率，如果该概率太大，那么增加服务台个数或提高服务率可能是有意义的.因为在这种情况下虽然增加了服务机构的费用，但由于减少了顾客的逗留时间费用，故综合平衡后还是可取的决策.

（3）忙期.对多个服务台的排队模型，从服务系统开始无空闲的服务台这一时刻起，到有一个服务台开始空闲这一时刻止，这段时间称为系统的忙期.

对于单服务台的排队模型来说，从顾客到达空闲的服务台这一时刻起，到服务台再次变为空闲这个时刻止，这段时间（即服务台连续繁忙的时期）称为服务台的忙期，它是一个随机变量.忙期的均值是服务台最为关心的数量指标，因为这关系到服务台的工作强度.

此外，在不同类型的问题中，还会注意到其他一些数量指标，如损失制与混合制随机服务系统中的损失率及单位时间内平均损失的顾客数目.

由于排队模型一般都存在一个“初始”时期，在这个时期中，队长分布、等待时间分布和忙期分布均依赖于系统已运营的时间t和初始状态（顾客数），然而，服务系统运营充分长的时间后，系统趋于统计平衡，这些分布不再随时间变化且初始状态的影响也消失（但并不意味着系统失去了随机性）.今后，我们基本上只研究统计平衡时的有关状况.

为今后讨论具体的数学模型的方便，我们给出下列数量指标的符号：

λ——单位时间内平均到达的顾客数，即平均到达率；

——平均到达间隔；

μ——单位时间内受到服务的顾客平均数，即平均服务率；

——每位顾客的平均服务时间；

S——服务台个数；

ρ——每个服务台的服务强度（利用率），表示每个服务台在单位时间内的平均负荷；(www.daowen.com)

Pj——在统计平衡时，系统中具有j个顾客的概率；

D——顾客等待的概率；

Q——忙期；

L——队长（正在接受服务的和排队等待的顾客总数）的期望值；

Lq——等待队长的期望值；

W——逗留时间（顾客在系统中的等待时间和被服务时间的和）的期望值；

Wq——等待时间的期望值.

对于损失制和混合制的排队系统，顾客在到达服务系统时，发现服务台无空或系统容量已满，就自动消失而不再进入系统，因此到达的顾客不一定能全部进入系统，为此引入有效到达率λe：

有效到达率λe——单位时间内平均进入服务系统的顾客数.

对于等待制的排队系统来说，有λe＝λ.

下面我们给出3个基本公式，它们对各类排队模型在处于统计平衡时都适用.

首先，根据逗留时间的含义，我们有下述公式：

其次，我们给出下述两个李特尔（Liter）公式：

例如对于GI／G／S排队系统来说，该两个公式可以如此来解释（此时有λe＝λ）：

某一顾客到达时，如果服务台都忙着，那么在他被接受服务前所需的平均等待时间为Wq，在这段时间内平均到来的顾客数为λWq（排在此顾客后），当该顾客被接受服务时，系统中等待平均队长即为λWq，因此有Lq＝λWq.

一个正在离去的顾客在系统中平均逗留时间为W，这期间来到的顾客平均数为λW（这些顾客有接受服务的，有排队等待的），所以，系统中平均队长L＝λW.