现在我们介绍马尔柯夫过程的另一特例——生灭过程.

设有一堆细菌，每个细菌在Δt时间内分裂成两个细菌的概率为λΔt＋o（Δt）；而在Δt时间内死亡的概率为μΔt＋o（Δt），各个细菌在任一段时间内分裂或死亡都是相互独立的.如果将细菌的分裂或死亡都看成发生一个事件，那么易知，在Δt时间内发生两个或两个以上事件的概率为o（Δt）.设在时刻t有i个细菌，则在时刻t＋Δt有i＋1个细菌的概率为λiΔt＋o（Δt），在时刻t＋Δt有i－1个细菌的概率为μiΔt＋o（Δt）.现用ξ（t）表示这堆细菌在时刻t的个数，并考察在［0，A）时间内细菌个数的变化情况.

因为对每个固定的t，ξ（t）都是随机变量，故｛ξ（t）｜t∈［0，A）｝为一个随机过程.又因为它具有无后效性，故它也是一个马尔柯夫过程.

上述细菌分裂和死亡的过程是一种典型的生灭过程的例子.下面我们给出生灭过程的具体定义.

生灭过程——若随机过程｛ξ（t）｜t∈［0，A）｝的状态集I＝｛0，1，2，…，m｝或I＝｛0，1，2，…｝.设在时刻t时ξ（t）＝j，那么在时刻t＋Δt时（j和j＋1∈I），ξ（t＋Δt）＝j＋1的概率为λjΔt＋o（Δt）（其中λj＞0为与t无关的常数）；在时刻t＋Δt时（j和j－1∈I），ξ（t＋Δt）＝j－1的概率为μjΔt＋o（Δt）（其中μj＞0也为与t无关的常数）；在时刻t＋Δt时，ξ（t＋Δt）为I中其他元素的概率均为o（Δt）.则称该随机过程｛ξ（t）｜t∈［0，A）｝为生灭过程（在下面将要讨论的一些生灭过程中，取A＝＋∞）.

对一些生灭过程来说，我们常常关心下列概率：

排队论中的很多模型都是生灭过程，故我们把生灭过程关于Pj（t）的微分方程组及其极限解和有关定理介绍于下.在分析排队模型时，我们就直接应用这些结论来计算有关的数量指标.

生灭过程关于Pj（t）＝P（ξ（t）＝j）的微分方程组为

求解这组方程，即可得到在时刻t时过程的状态概率分布｛Pj（t），j∈I｝，即得到生灭过程的瞬时解.(www.daowen.com)

但是，一般说来，要从微分方程组求得瞬时解是极其困难的，只有个别问题才能求得瞬时解.因此，在实际应用中，我们关心若它存在，常常把它当作任一时刻（过程运行一段时间后）过程处于状态j的概率.关于生灭过程微分方程组的极限解我们有如下定理.

定理9－3　令

则对I＝｛0，1，…，m｝的生灭过程，或对I＝｛0，1，2，…｝且满足条件

的生灭过程，对于任意正数s和任意i∈I，j∈I，都有

当状态集I＝｛0，1，…，m｝时，

当然态集I＝｛0，1，2，…｝时，

我们称Pj（j∈I）为生灭过程在统计平衡时的概率，或称稳态概率.

定理9－3告诉我们，对于满足定理条件的生灭过程，当过程运行了很长时间后，初始状态的影响将消失，过程的状态的概率分布Pj（j∈I）与时间无关.在实际应用中，过程不可能等到t→∞.事实上，对于绝大多数实际问题，过程很快会趋于统计平衡.