若用N（t）表示在［0，t）时间内到达某服务系统的顾客数，则对于每个给定的时刻t，N（t）都是一个随机变量.我们称依赖于连续参数时间t的随机变量族｛N（t）｜t∈［0，A）｝为一个随机过程.称N（t）的值为在时刻t时过程所处的状态，N（t）取值的全体称为状态集，记作I，I＝｛0，1，2，…｝.

假设对于任意的t1＜t2＜…＜tn＜tn＋1，有

则称随机过程｛N（t）｜t∈［0，A）｝为马尔柯夫（Markov）过程.式（9－1）所表示的性质称为“马尔柯夫性”或“无后效性”.它的实际背景就是说：如果以tn表示现在时刻，tn＋1表示未来时刻，t1，…，tn－1表示过去的一系列时刻，则顾客到来的过程在tn以前所处的状态，对预言过程在tn以后的状态不起直接的作用.或者说，在已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”是独立的.

下面我们着重介绍马尔柯夫过程之一——泊松（Poisson）过程.

若状态集I＝｛0，1，2，…｝的随机过程｛N（t）｜t∈［0，A）｝具有所谓的独立增量性：对任一组t1＜t2＜…＜tn（n≥3），随机变量

相互独立.同时，对任意t∈［0，A），有

其中参数λ＞0，则称这个过程为泊松过程.

独立增量性说明在互不相交的时间区间［t1，t2），［t2，t3），…，［tn，tn－1）内顾客来到系统的情况是相互独立的.不难验证，“独立增量性”这个条件比“马尔柯夫性”来得强.

由概率论有关知识知道，

它为在时间区间［0，t）内到达的顾客的平均数.从而，λ即为单位时间间隔内到达顾客的平均数.

在排队论里，人们常把泊松过程称为最简单流，参数λ称为最简单流的强度.在具体的实际问题中，λ是不难由统计资料求得的.

下面我们给出使泊松过程得以实现的比较广泛的条件.

我们现在对上述定理中的3个条件给出直观上的解释：

由独立增量性可知，在［0，A）中的区间［s，s＋t）内来到k个顾客这一事件与区间［0，s）内来到的顾客的情况相互独立.换言之，对在［0，s）内顾客来到的情况所作的任何假定下，计算出来的在［s，s＋t）内来到k个顾客的条件概率都相等.过程具有独立增量性，必然具有马尔柯夫性.

平稳性说明在［s，s＋t）内来到的顾客数只与区间的长度t有关而与起点s无关.换言之，过程的统计规律不随时间的推移而改变，在同样长度的时间间隔内来到k个顾客的概率是一个常数.

普通性表明，在同一瞬时到达两个或两个以上顾客实际上是不可能的，换言之，在充分小的时间间隔中，最多到达一个顾客.

泊松过程在排队论中的地位与正态分布在概率论中的地位相同.但是，我们需要指出，独立增量性、平稳性和普通性在实践中并不是经常能够满足的.例如平稳性对电话呼唤流就显然不成立，白天的呼唤就比晚上多.虽然如此，最简单流仍然可以认为是实际现象相当程度上的近似，特别如巴尔姆辛钦（Palm－Xинчин）极限定理断言：大量相互独立小强度的随机流之和近似于一个最简单流，只要每个加项流都是平稳与普通，同时满足一些足够普通的条件.

概率论的中心极限定理告诉我们：足够多的独立随机变量之和近似于正态分布，而不管这些随机变量是什么分布.

而巴尔姆－辛钦极限定理正如中心极限定理一样，向我们阐明了为什么最简单流正如正态分布那样，经常会在实际生活中出现.

例如，到达电话局的总呼唤流是个别用户（强度相对地很小）发出电话呼唤的总和，而每一个别用户的呼唤可近似地看成平稳普通的流，且它们之间相互独立，因此，到达电话局的呼唤流就近似地视为最简单流.

正由于最简单流这种足够接近实际的性质，以及其简单而易于处理，因而在排队论中把它作为研究实际问题的一个起点.

例9－1　某天上午，从10：30到11：47，每隔20秒钟统计一次来到某火车站售票处的旅客数，共得230个记录.整理后得到如表9－2所示的统计结果.试用一个泊松过程来描述售票处的旅客的到达过程.

表9－2(www.daowen.com)

解　要描述这个到达过程只要求出参数λ即可.根据λ的意义，我们先求出每20秒钟内到达售票处的旅客的平均数

于是，每分钟平均到达的旅客数为

对于描述顾客到达情况的随机过程｛N（t）｜t∈［0，T）｝，我们也可以用随机变量序列

来描述，其中

为第n位顾客到达时刻tn与第n－1位顾客到达时刻tn－1之间的时间间隔（设t0＝0）.

对于泊松过程，我们有如下定理.

定理9－2　顾客到达过程｛N（t）｜t∈［0，A）｝是一个参数为λ的泊松过程的充分必要条件为：相应的顾客到达间隔Tn（n＝1，2，…）是一族相互独立同分布的随机变量，它们的分布函数为负指数分布：

由此定理可知，“顾客流是最简单流”与“顾客到达间隔相互独立且服从相同的负指数分布”是等价的两种描述方式.

由于负指数分布的数学期望

所以对于最简单流，顾客到达时间间隔的平均长度为.

例9－2　在某个交叉路口观察了25辆向北行驶的汽车到达路口的时刻，其记录如下（开始观察时刻为0，单位为秒）：

试用一个泊松过程来描述该到达过程.

解　该车流是一个最简单流，因此汽车相继到达的时间间隔Tn，n＝1，2，…相互独立，服从同一分布——负指数分布.现在估计负指数分布的参数λ.

汽车相继到达路口的时间间隔为

所以，服从如下分布的独立同分布随机变量族｛Tn，n＝1，2，…｝描述了该车流：

换言之，汽车到达路口的过程是一个以每秒来到0.182 5辆汽车的最简单流｛N（t）｜t≥0｝：