从整体上看，明末清初传入的西方数学是为天文历法和大地测量服务的，因此具有非常强的实用性特点。^[37] 《崇祯历书》（或说《西洋新法历书》）以及《历象考成》《历象考成后编》的编译都与朝廷当局改历的迫切需求有关，但从知识的角度而言，当时的天朝并不具备精确修订历法的知识储备，适逢欧洲的宗教改革，传教士东遣，于是一些欧洲天文学和数学借助传教士的译介进入天朝，传教士也因为参与历法修订而获得官方认可的地位。要特别注意的是，这时传入的数学知识是依附天文学知识的，不完整，不系统，也不完备。这些背景很大程度上决定了清代数学家研究西方数学的限度。如清初一大批学者对三角学的研究，很大原因是三角学是理解《崇祯历书》所译介的几何的宇宙模型所必需的数学基础。梅文鼎曾说：

西法用三角，犹古之用勾股也。……至于弧三角，则欲无勾股中寻出勾股，其法最奇，其理最确，八线之用于是而神。是故全部历书皆弧三角之法也。不明三角，则历书佳处必不能知，其有缺误亦不能正矣。^[38]

同样，《历象考成后编》引入的椭圆模型使得清代中期的数学家对圆锥曲线的研究集中于椭圆轨道运动。并且，当时译介的有关椭圆的知识也不完备，在新的知识传入之前，他们对椭圆轨道运动的解读没有超出《历象考成后编》的范围。即使到了19世纪60年代，李善兰在《谈天》序言的最后还告诫说：“余与伟烈君所译《谈天》一书，皆主地动及椭圆立说，此二者之故不明，则此书不能读。”

清代中期，历算被重新纳入儒学正统，受乾嘉学派的治学方法影响，历算很大程度是解释、考据经学经典的工具，归于“小学”。随着宋元数学的复兴以及考据学的深化，数学研究趋于专门化，方程论以及三角函数幂级数展开的研究就是两个重要的课题。此期间，虽没有新的欧洲数学输入，但之前传入的西学与中算比较和融合并得以沉淀，影响后一阶段西学的输入与传播。

晚清，在求强求富的自强运动背景下，自强运动的践行者们认识到数学对于西方先进军事和民用技术的基础作用，自强与算学建立了逻辑关系。数学作为重要的实用知识而受到空前重视并逐渐得到普及，更多的是被当成“经世之具”，而非“专家之学”。张之洞（1837—1909年）所述最具代表性：最后还附注“算学西多中少，因恐求备求精有妨中学”。以实用为目的而不深求算理，数学研究与教学水平势难长进。^[39]因此，我们看到国人对《重学》中定量描述弹道学的抛射运动知识异常关注，但同时他们并不具备有关抛物线的完备知识，所以李善兰借助“平圆通之”，之后一些数学家继续利用更基础的数学语言解读《火器真诀》。他们基于实用的目的，浅尝辄止，甚至企图走捷径。如正文所述，从知识传播的角度而言，这并不是知识传播的“正途”，甚至可以说已入“歧途”。晚清对抛射运动这一特定知识的探求和迷恋，与当时特定的时代背景有关。特定的社会因素对某些知识的传播的影响是深刻的，甚至决定性的。

天文、地图、化、力、光、电、一切格致制造，莫不有算，各视所业何学，即习何学之算，取足应用而止。如是则得实用而有涯涘。今世学人治算者如李尚之、项梅侣、李壬叔诸君，专讲算理，穷幽极微，欲卒其业，皓首难期。此专家之学，非经世之具也。^[40]

面对西学，官方一方面“以西学瀹其智识，练其艺能。务期他日成材，各适实用”，企图造就通才，另一方面还要“慎防流弊”。这种对西学“取足用而止”、侧重于实用的观念，其实一直贯穿于清代西学传入的整个过程，影响着西学的传播。早在乾隆朝四库馆臣在《四库全书总目》中就有类似的表述：“欧罗巴人天文推算之密，工匠制作之巧，实愈前古，其议论夸诈迂怪，亦为异端之尤。国朝节取其技能，禁传其学术，其存深意矣。”

晚清教育的近代化是晚清系列变革中卓有成效的变革，其中数学教育的近代化是其重要内容之一。新式学堂的出现，数学课程的普遍设置，数学教学内容的变革，教会学校数学课程体系的示范，晚清数学教师的职业化与数学研究的专业化，以及最终癸卯学制（《奏定学堂章程》）的颁行标志的教育制度化等等，这些促进了包括圆锥曲线在内的西方数学在中国的传播进度，加快了国人的数学知识构成的改变与扩充速度以及新知识体系的形成，最终推进了中国数学近代化的进程。

【注释】

[1]（美）罗密士著，（英）伟烈亚力译，（清）李善兰述：《代微积拾级·伟烈亚力序》，墨海书馆刊本，咸丰己未（1859年）。

[2]（清）顾观光：《算剩余稿·卷下》，武陵山人遗书本，光绪九年（1883年），第59 页。

[3]冯桂芬：《西算新法直解·自序》，光绪丙子（1876年）吴县冯氏校邠庐刊本。

[4]梁启超：《读西学书法》，夏晓虹辑：《〈饮冰室合集〉集外文》，北京大学出版社2005年版。

[5]卢靖：《万象一原演式·序》，版本不详，1902年自序。

[6]对于这个问题，郭世荣的《清末数学家的微积分水平》（载《第二届中国少数民族科技史国际会议论文集》，北京：社会科学文献出版社1996年版，第139-142 页）、汪晓勤的《关于〈代微积拾级〉的一个注记》[载《浙江大学学报》（理学版）2001年第4期，第384-393 页]、李兆华的《晚清算学课艺考察》（载《自然科学史研究》2006年第4 期，第322-342 页）等从不同角度有所讨论。

[7]汪晓勤的《关于〈代微积拾级〉的一个注记》就指出《代微积拾级》中曲线凹凸性定义有缺陷。关于《代微积拾级》的特点和不足还有待进一步的研究。

[8]中算家对天元术与代数认识的变化过程，参阅田淼：《中国数学的西化历程》，第234-277 页。

[9]（清）卢靖：《万象一原演式·卢靖序》，石印本，1902年。

[10]天津师范大学图书馆藏有稿本。

[11]李冶：《测圆海镜·李善兰序》（古今算学丛书本），上海算学书局石印本，光绪二十四年（1898年）。

[12]田淼：《中国数学的西化历程》，济南：山东教育出版社2005年版，第272-273页。

[13]关于天元术和代数学在晚清的发展，可以参阅田淼：《中国数学的西化历程》第五章。

[14]黄启明：《微积通诠》，菁华阁刊本，刊刻时间不详，陈平瑛1905年序。中科院自然科学史研究所图书馆有藏。

[15]（清）华蘅芳：《学算笔谈·卷五·论加减乘除开方之用》，行素轩算稿本，光绪癸巳（1893年）。

[16]郭金海：《京师同文馆数学教学探析》，《自然科学史研究》2003年增刊，第47-60 页。(www.daowen.com)

[17]田淼：《中国数学的西化历程》，济南：山东教育出版社2005年版，第370-371页。

[18]韩琦：《数学的传入及其影响》，董光璧主编：《中国近现代科学技术史》，长沙：湖南教育出版社1997年版，第121 页。

[19]王立新：《美国传教士与晚清中国现代化》（修订版），天津人民出版社2008年版，第314 页。

[20]还有一些案例，如卡尔达诺公式在晚清的传播，参见拙作《代数布式，天元开方——卡尔达诺公式在晚清的境遇》，《自然科学史研究》2016年第3 期，第273-284 页。

[21]刘钝：《梅文鼎在几何学领域中的若干贡献》，梅荣照主编：《明清数学史论文集》，南京：江苏教育出版社1990年版，第182-218 页。

[22]梅瑴成：《赤水遗珍·天元一即借根方解》，梅文鼎：《梅氏丛书辑要》卷六十一。

[23]李兆华：《关于〈数理精蕴〉的若干问题》，《内蒙古师范大学学报》（自然科学汉文版）1983年第2 期。

[24]韩琦：《〈数理精蕴〉的内容及其西方数学来源》，郭书春主编、李兆华副主编：《中国科学技术史·数学卷》，北京：科学出版社2010年版，第661 页。

[25]李兆华：《汪莱方程论研究》，洪万生主编：《谈天三友》，台北：明文书局1993年版，第195-225 页。

[26]李兆华：《衡斋算学校证》，西安：陕西科学技术出版社1997年版，第237 页。

[27]《衡斋算学·汪廷麟后叙》，载李兆华：《衡斋算学校证》，西安：陕西科学技术出版社1997年版，第259 页。

[28]汪莱：《张古愚缉古算经细草叙》，《衡斋遗书》卷九。

[29]罗士琳（1789—1853年）《续畴人传》（1840年）在“汪莱传”的“传论”称：“特矫枉过正，未免有时失之于偏。尤于西法太深，虽极加驳斥究未能出其范围。观其用真数、根数、以多少课和较而泥于可知、不可知，尚是墨守西法。”而同样应用“借根方”的中多项式或方程的表示形式的明安图的“割圆连比例法”，被罗氏称为“明氏新法”而加以赞誉。两相对照，李兆华先生认为罗氏是“存畛域之见者故不能平心观理”（李兆华《衡斋算学校证》导言），还有研究者为汪莱叫屈（洪万生：《谈天三友：焦循、汪莱和李锐》，《谈天三友》，第95 页）。其实，罗氏早年是深谙“西学”的，他第一部学算著作《比例汇通》（4 卷，1818年）自序（1817年）称：“……此西人比例法之所以为最上乘也。”“按类相从，谨摘《九章》中切于日用所必需者若干条，汇为‘比例’ 十二种，以各定率比例冠诸首，以借根方比例载诸后，以诸乘方开方法附诸末。”他在卷三“借根方发凡”中称：“兹仅就诸比例之所设之法，用借根方法一一推演之，以明九章即比例之故。其全法容俟另撰《借根方解》，庶几由浅及深，引人入胜尔。”罗氏当时的知识基础主要来自《数理精蕴》，有这样的研究心得并不奇怪，但是这部著作使他不意落入了汪莱十数年前所谓的“言借根方者十得八九”而“数典忘祖”之列。他后来自称《比例汇通》“妄以西法疏释古书”，并且“一意专精于天元四元之术”则是四年后在京城见到《四元玉鉴》之后才发生的改变。罗氏曲解汪莱，不知是不是有要为其被指“数典忘祖”扳回一局的意思？

[30]王记录：《西学究竟在多大程度上影响了乾嘉考据学——以钱大昕为例》，《河南师范大学学报》（哲学社会科学版）2008年第3 期，第155 页。

[31]严敦杰：《李尚之年谱》，洪万生主编：《谈天三友》，台北：明文书局1993年版，第365 页。

[32]郭世荣：《清代中期数学家焦循与李锐之间的几封信》，洪万生主编：《谈天三友》，台北：明文书局1993年版，第131 页。

[33]转引自郭世荣：《清代中期数学家焦循与李锐之间的几封信》，李迪主编：《数学史研究文集》第一辑，呼和浩特：内蒙古大学出版社，台北：九章出版社1990年版，第127 页。

[34]与这个案例相连的还有一个问题，就是符号代数在康熙年间传入的失败。大约1711年，法国传教士傅圣泽（Jean-Francois Foucquet，1665—1741年）企图向康熙皇帝介绍欧洲的符号代数，但失败了，其最直接的原因是学习者在当时还不具备学习符号代数的知识结构。（Jami，C.著，徐义保译：《欧洲数学在康熙年间的传播情况——傅圣泽介绍符号代数尝试的失败》，李迪主编：《数学史研究文集》第一辑，呼和浩特：内蒙古大学出版社，台北：九章出版社，1990年，第117-122 页）后来焦循以符号化的方式一般地总结和探讨四则运算地方法和规则的《加减乘除释》（草创于1794年，成稿于1797年）的出现，那已经是80年之后的事，这中间经过对《数理精蕴》的学习沉淀以及汉唐宋元数学的复兴，中算家在代数方面的知识结构得到扩充。相较于符号代数的传入的失败，在傅圣泽介绍符号代数之前传入的具有代数特性的借根方却成功地进入中算家的视野，这实际上与当时中算家具有传统开方术的知识基础有关，至少两种方法处理的问题是相似的，他们能看出借根方的优点，所以梅瑴成以“借根方”解“天元一”。

[35]汪晓勤：《关于〈代微积拾级〉的一个注记》，《浙江大学学报》（理学版）2001年第4 期，第384-393 页。

[36]郭世荣：《清末数学家的微积分水平》，《第二届中国少数民族科技史国际会议论文集》，北京：社会科学文献出版社1996年版。

[37]韩琦：《数学的传入及其影响》，董光璧主编：《中国近代科学技术史》，长沙：湖南科学技术出版社1997年版，第127 页。

[38]梅文鼎撰，高峰校注：《勿庵历算书目·三角法举要（五卷）》（清康熙刻本），长沙：湖南科学技术出版社2014年版，第142-145 页。

[39]李兆华：《晚清算学课艺考察》，《自然科学史研究》2006年第4 期。

[40]张之洞：《劝学篇》，郑州：中州古籍出版社1998年版，第97 页。