基于正文的论述和前文的小结，这里有些让人深思的问题。

数学造诣很高的董祐诚为什么在探究椭圆周长公式时会出现现在看来“很低级”的错误？李善兰是《代微积拾级》（下简称《拾级》）的翻译者，可是他为什么不采用微积分方法解椭圆轨道问题，而是他之后差不多半个世纪的人（如陈平瑛）？同样的，夏鸾翔先于龙城书院学生沈保枢四十年看到《拾级》，并且他对《拾级》也有所研究，可为什么是沈保枢运用微积分方法研究曲线求积问题而不是夏氏自己？为什么夏氏放着眼前《拾级》中微积分法不用而非得用“笨拙”的递加数？为什么他的错误竟由龙城书院的学生来订正？按理说，夏鸾翔、李善兰相较于后辈，他们的数学造诣高得多，理解和吸收《拾级》中的微积分方法应该不是什么难事。

以现在的数学知识审视之，以上现象似乎不合逻辑。这些有如悖论的问题确实让人费解，个中原因值得思考。

我们知道，1859年《拾级》刊行，微积分传入中国。按理说中算家只要把它当成教材，沿着其中的知识内容渐次学习，就能领悟求曲线长的微积分这种更一般更有效的方法。可是夏鸾翔的《致曲术》《万象一原》并没有这样做，夏氏仅仅是运用《拾级》中的积分术，结合他本身的知识基础“递加数”得到椭圆弧长公式等比较一般的公式，较之他的老师项名达，夏氏将求积领域扩充了，但其方法缺陷也是显而易见的。而晚清真正运用微积分的方法解决类似椭周求术的曲线求积问题则是到了20世纪初，龙城书院学生沈保枢对夏氏方法的改进就是一例，不过，这时《拾级》已经出版40年了。

与夏鸾翔类似的情形也发生在李善兰身上。李氏得到椭圆向径的级数表达式虽然用到《拾级》的代数表示法，但是他并没有运用《拾级》中的方法得到级数，而是运用董祐诚那种将级数系数与垛积术联系的方法。他还被伟烈亚力点名提醒了呢。

其实，这里涉及另外一个重要问题：变量数学传入之后，中国晚清对以微积分为代表的高等数学吸收效果为何不尽如人意呢？

在微积分传入之前，中算家对一些求积问题的成果已经接近微积分，这里再次引用伟烈亚力的评价，他说：

微分、积分为中土算书所未有，然观当代天算家，如董方立氏、项梅侣氏、徐君青氏、戴鄂士氏、顾尚之氏、暨李君秋纫所著各书，其理有甚近微分者，因不用代数式，故或言之甚繁，推之甚难。^[1]

伟氏所论可以说极为中肯。

从算法的角度看，《拾级》中微积分是比较完备的，照理说中算家可以理解，级数的代数式表达于夏鸾翔并不是难事，如第三章第一节所述，微积分在夏氏那里只是一半被吸收了，而函数展开他仍沿用递加数去解释，最终结果仍用递加数表示。还有一个更为极端的例子，顾观光（1799—1862年）曾对《拾级》中的幂级数展开式

颇有微词，而且对译者的工作也极为不理解，他说：

此为无穷级数，实即开不尽之平方，用乘除以代开方，而故立新名以涂人之耳目，可恨极矣。且乘除代开方，中土项梅侣等早有其术，无俟乞灵于西人，而其术较西人简易十倍，译书者岂未之见耶？

最后他认为用项名达递加数的方法更为简捷，他说：

但天（指x）必小于一方可入算，今设天为〇九（即0.9），用项术（指项名达的“递加数”法）演之，以大破西法之藩篱焉。……较西法为简，而较开方古法已病其繁，可见古圣人之制作宏通简易，不屑与庸夫争丝栗之工，而超出乎庸夫上者已不可以道里计。所谓百家腾耀，终入环中也。世有护西法者，请因是言而一思之。^[2]

在顾氏看来，由泰勒公式和麦克劳林公式得到的级数展开式远不如项名达的表达，认识之狭隘显然。他还认为《拾级》中二项式展开式“即开方求廉率之理，而曲径迂回，不如中法远矣”。顾氏这些狭隘认识固然有存中西畛域之见的原因，更为根本的是因为他的知识基础就是建立在递加数之上，不能理解西方数学中幂级数泰勒展开而造成的。

《拾级》出版之初，学习者几乎都只关心如何利用微积分方法去解决他们以前很难或者无法解决的具体问题，主要集中于积分术与曲线求积问题，如微积分方法在长度、面积、体积、三角函数与对数函数幂级数展开等方面的应用，夏鸾翔与李善兰（他们的研究见第二章与第三章的相关章节）可为这方面的代表。而《拾级》本身是以“难读”著称。如徐有壬称：“是书壬叔外鲜能通晓，书中文义语气多仍西人之旧，奥涩不可读，惟图式皆可据”^[3]。梁启超称：“《代微积拾级》依西人文法，不敢稍有变动，故极诘屈难读”^[4]。卢靖则称：“近世算术，以微积分为最深而最难，又为格物科学所不可少。吾国五十年来，仅有译成之《代微积拾级》与《微积溯源》二书。《拾级》简奥诘屈，海内畴人咸以难读为苦”^[5]。冯桂芬与陈旸合作的《西算新法直解》八卷（1862年自序）企图解释《拾级》，但并没有得到中算家的认可，被认为“擅易其所译之号，颠倒讹误，岂徒无益于后生”。为弥补《拾级》的不足，华蘅芳与傅兰雅共同翻译《微积溯源》（1874年）“欲补其所略也”。可卢靖认为该书虽“较为详备，然不立题不设数，愈讲微分为何物，愈令人迷惑恍惚，而不可捉摸”。

以上虽是个别中算家的认识，但代表了当时中算家对微积分学习的困惑。与之相应的是，晚清对微积分等变量数学的吸收效果并不尽如人意。^[6]

我们应该注意两点：第一，《拾级》所带来的微积分并不完善甚至还有缺陷^[7]；第二，微积分本身是一个知识体系，作为高等数学知识，它有它的知识基础，或说是预备知识。《拾级》内容依次为解析几何、微分、积分，原书共18 卷，解析几何就占了9 卷，从篇幅的比例就可看出解析几何重要的基础性。至于微积分学习所需的递进式的知识基础，伟烈亚力在翻译《拾级》之前就有所强调，再看看他在《数学启蒙》（1853年）的自序中的说法：

余自西土远来中国，以耶稣之道为本，余则兼习艺能。爰述一书，曰《数学启蒙》，凡二卷。举以授塾中学徒，由浅及深，则其知之也易。譬诸小儿，始而匍匐，继而扶墙，后乃能疾走。兹书之成，姑教之匍匐耳，扶墙徐行耳。若能疾走，则有代数、微分诸书在，余将续梓之。

伟烈亚力这个“小儿学走”的比喻很形象，实际上给出了数学知识学习的一个递进的路径：启蒙数学（算术）→（符号）代数→微积分。李善兰给《拾级》作序也称“是书先代数，次微分，次积分，由易而难，若阶级之渐升”，强调了学习微积分的路径的递进性。华蘅芳在经过多年的学习摸索之后，也提出了一个循序渐进的学习路径：几何→天元术→代数→微积分。^[8]后来卢靖说：

（微积分）畴人探索经年而不得其方者，比比然也。项戴徐李之书其理本多近微积，然鲜用代数式，故言之甚烦，推之甚难，且多言法而不言理与用。后生小子读西书既难，如彼读诸家之书又不易，如此究乌从而窥微积之门径耶？^[9]

四十多年以后，中算家对微积分的认识居然还是回到了伟烈亚力当年的评价上了！所以他的《万象一原演式》的工作就是将夏鸾翔用递加数表述的曲线求积级数转换成代数表达式，他的《割圆术辑要》收集整理之前有关三角函数的幂级数展开式并将它们用符号代数改写，显然他认为符号代数能解决“言之甚烦”的问题；他认为“微积分以叠微分为最切用”，作《叠微分补草》^[10]，标题下注“求级数通法”，全书讲解用泰勒展式求幂级数的方法，显然是认为叠微分解决了“推之甚难”的问题。

在这里，他们几乎都强调了学习微积分必需的知识基础：代数学。

另外，《代数学》与《拾级》几乎是同时翻译出版的，也就是说，中算家几乎是同时看到（符号）代数和微积分的，这中间没有时间差。中算家在传统数学中找到了与代数学的“对应点”——天元术，用它搭建了学习理解西方数学的桥梁。李善兰曾在《刻〈测圆海镜〉序》中称：

……《测圆海镜》每题皆有法有草。法者，本题之法也；草者，用立天元一，曲折以求本题之法，乃造法之法，法之源也。且算术大至躔离、交食，细至米盐、琐屑，法甚繁已，以立天元一演之，莫不能得其法。故立天元一者，算学中之一贯也。……善兰少习《九章》，以为浅近无味。及得读此书，然后知算学之精深，遂好之至今。后译西国代数、微分、积分诸书，信笔直书，了无疑义者，此书之力焉。盖诸西法之理，即立天元一之理也。^[11]

可以看出，李氏非常重视天元术，他认为正是因为有了天元术的基础，才得以很快理解《代数学》和《拾级》等著作中的西方代数学和微积分内容，故而能在翻译时“信笔直书，了无疑义”。^[12]

还有一个更直接的例证，就是《重学》卷一第六款之后的第一个练习题，该题是求杠杆平衡后的支点的位置，题设为（括号中为英文底本中对应字母）：

假如前图，子（P）为三斤，寅（Q）为五斤，丑（P′）为九斤，卯（Q′）为七斤。甲丙（MN）、丙丁 （NM′）、丁乙 （M′N′）各一尺。求定点戊（C）距甲（M）点若干。

《重学》底本的方法是设MN=NM′=M′N′=a，MC=x，根据杠杆原理得到方程

3x+5(x-a)=7(2a-x)+9(3a-x)

最后解得x=

李善兰相应的翻译是：

用代数推之，命甲戊为天，有等数如左……

三天⊥（天甲丙）=七（二甲丙天）⊥（三甲丙天），……，

天=。

我们知道，《重学》的翻译是在《代数学》《拾级》之前，因此可以说，这个题是中算史上第一个近代意义上的“设未知数列方程”解题的例题。因为一般人还不知道“代数”为何物，故而在“用代数推之”之后，李善兰用国人熟悉的天元术给出了此题对应的解法，“以天元入之。草曰：立天元一为甲戊，……上实下法，得一尺又十二分尺之十一，即甲戊也”。演算是用筹算。最后李氏还给出了说明案语：

此书（指《重学》）立术俱用代数法，尚未翻入中土，恐读之卒难明晰，故间入天元一二条，欲学者因此而通彼也。

可见，在“代数法”还未译介的情况下，李善兰很自然地找到了天元术去对应解释“代数法”，而且仅“一二条”即可达到“因此而通彼”的效果。钱熙辅在《重学》跋文中也告诫读者说：

书中（指《重学》）多以代数立说，中土虽无其术，而西人《代微积拾级》一书上海已有刊本，且与中法天元大略相似，故不复详释，读者以意会之可也。

在这里，天元术成为国人早期学习、理解“代数”甚至是微积分的重要知识基础。

《重学》卷一第六款后第一个练习题的解答以及李善兰的案语（金陵书局本）

但我们知道，天元术只是有助于理解和接受代数学，但并不能包含代数学，更不能替代代数学。^[13]而且，更高知识层次的微积分要求的知识基础更广，它至少还应包括解析几何知识，《代微积拾级》书名中的“代”就是此意。而解析几何的学习很大程度是通过二次曲线（圆锥曲线）来展现，因此可以说，二次曲线（圆锥曲线）是学习解析几何的载体。而这些在当时已有的数学中找不到对应点。

直到20世纪初，对微积分有较深研究的黄启明在其《微积通诠》“例言”中就明确指出：

微积之术乃藉代数式为用，故其加、减、乘、除、开方并各种变项之法均与代数常法同，其求各种曲线之长、或面、或体必先依本曲线之理求其纵横二线之同数，故欲学微积者，须先通几何之学，各种曲线之理，代数布算之法，方可从此问津。^[14]

回头再看看夏鸾翔和李善兰关于圆锥曲线的工作都是在《拾级》传入之初做的，当时清代中期开始形成的特有的幂级数展开法已经内化为他们的知识结构，因此他们将圆锥曲线的研究局限在求积方面，影响了他们对微积分的学习路径的认识（尽管李善兰自己交代得很清楚），他们对《代微积拾级》中的“代”不怎么关注。所以若从微积分的吸收的角度而言，夏、李二氏的工作无疑是带偏了国人学习微积分的轨道，并不利于微积分在中国更好更迅速地传播。(www.daowen.com)

要知道，李善兰对微积分、代数学等西方数学的优越性是有深刻认识的。王韬在咸丰九年三月十八日（1859年4月20日）的日记中记道：

……酒罄数壶，醺然有醉意。酒间，……壬叔亦谓：“当今天算名家，非余而谁？近与伟烈君译成数书，现将竣事。此书一出，海内谈天者必将奉为宗师。李尚之（指李锐）、梅定九（指梅文鼎）恐将瞠乎后矣。”

李氏所发出“天算名家，非余而谁”的感叹，虽系酒话，但绝非狂言，显然他是有所依仗的，因为他认识到所译诸书中数学方法的优越性。他曾给华蘅芳介绍《拾级》说：

此书为算学中上乘工夫，此书一出，非特中法几可尽废，即西法之古者亦无所用之矣。^[15]

如果真是这样的话，1867年他就没必要收集自己的算稿结集为《则古昔斋算学》出版了。特别是，《拾级》刊行时他还不到50 岁，可他练习“上乘工夫”的痕迹也就是仅仅在《椭圆拾遗》中用级数处理椭圆轨道问题时用到了积分术，而级数的获得则还是承续董祐诚的那种级数系数与垛积术结合的办法。还有，他担任京师同文馆天文算学馆算学总教习期间（1868—1881年），教学中也没发现多少微积分教学的迹象。^[16]显然，李善兰对微积分的实际研究与他对《拾级》的评价并不相符。

至于后来诸如沈保枢、陈平瑛等学者对微积分术自如的运用，除符号之外与现今的微积分一般训练区别不是很大，但是从时间上说，这些是在解析几何作为教学内容在学堂（校）实施教学和普及之后的事，学习者的知识结构与他们的前辈相比无疑已经发生了很大的变化。

皮亚杰认知心理学认为，一种刺激，只有当它有意义时，才成其为刺激。使刺激变得有意义的条件是，存在一个能够同化它的结构，一个能够融合这个刺激并同时作出一种反应的结构。虽然这是针对儿童的认识心理，但类似的情况显然也存在于面对西学的中算家身上。西方数学能引起反应的内容，往往是中算家在其知识构成中能找到相应的“对应点”，或者说是能对相应内容作出反应的结构。

同时，我们还要注意到，西方数学的输入并不是按知识的逻辑顺序由浅入深顺次传入的，中算家刚开始不可能具有足够的或完备的知识构成去理解和接受；况且，传入的知识很多不完善甚至有错误，中算家可能根本找不到相应的知识构成去同化、吸收，也就没有什么反应，有时可能误解甚至是曲解。

李善兰的《火器真诀》对抛射运动知识的处理如同当今的“数学建模”，他用平圆知识重新建构了涉及抛物线的抛射运动知识，其目的在于更好地传播。而其后十来位数学家对《火器真诀》不遗余力地进行解释，就是想用更易接受的知识解释李氏的“真诀”，以便更好地接近于兵勇们的知识构成。他们工作的意义就在于急于传播和普及他们认为有意义的知识，一方面使得人们认识到子弹的运行有法可依，但另一方面实际上并没有真正理解抛射运动知识的实质，西学的学习一定程度上进入了“歧途”。

利用圆锥曲线作图就是中算家知道几何作图之后所作的探讨，但他们明显不受欧氏几何尺规作图的传统限制，不恪守欧氏几何的传统，原因就在于中算家在这方面知识结构的缺失，所以他们在利用圆锥曲线作图的方法显得很自然，也没有人认为这不合规，如李善兰通过两条双曲线相交得到交点。反观西方，面对同样的问题牛顿就得恪守严格的尺规作图限制。

黄宗宪为代表的中算家在解决中国传统容圆问题时，对容圆圆心轨迹进行了理论探讨，进而运用圆锥曲线作图对阿波罗尼问题进行研究。这可以看成是西学内化为中算家的知识结构后与传统数学互动的体现。

至此，回到本书绪言提到的话题。西学对中算家的刺激在清代可以说是没有间断的，特别是这种刺激并不是沿逻辑知识由浅及深顺次渐进的，可为什么有的起作用，有的被忽视，有的反响大，有的反响小？已有研究指出，跨文化的科学传播有其复杂性，在传播过程中，科学知识本身的“优越性”并不起决定作用，传播者和接受者双方的特点决定了西方科学知识传播的特点和内容。^[17]科学传播不仅取决于传入的西方科学，也取决于国人对科学的理解。^[18]现代解释学也认为，文化的传播过程也是对文本的解读过程，即解读者与文本之间的交互作用。解读者自身并不是一张白纸，而有自身的文化传统，解读的过程是文本作者的解释学视界和解读者的解释学视界之间的视界融合。同一个文本在不同的解读者看来有不同的意义，因此解读者接受的往往不是文本的全部意义，甚至并不是文本的本来意义。同时解读者也不是被动的接受者，而是有目的、有选择的接受者，在接受者的选择下，传播者的本来目的往往很难达到。^[19]

所以我们认为，面对西方数学，中算家是从自己的知识结构出发，把它们放在自己的知识构成中去理解、重构、吸收和扬弃。在比较、吸收的过程中数学家的知识构成在不断地改变和扩充，逐步形成新的知识结构，影响着后来与西学的相互作用。注意“知识结构”这一内因，它有助于理解在优势科学传入后中算家还能做出有特色的创新成就，也有助于理解中算家在吸收西学时所表现出来的局限性。中算家知识构成的变化，可以作为分析和理解西方数学在晚清传播情形的一个视角，这个视角可以兼顾传统数学“知识进展”与“近代化”的研究思路。

下面略举西方数学在明清传播的三个案例，试着用这个结论分析一下。^[20]

案例一：《几何原本》（前六卷）在清初的传播

徐光启与利玛窦翻译出版了《几何原本》前六卷（1607年）之后，对其可谓推崇备至，他曾说：

《几何原本》者，度数之宗，所以穷方圆平直之情，尽规矩准绳之用也。（徐光启《几何原本序》）

此书有四不必：不必疑，不必揣，不必试，不必改。有四不可得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更置之不可得。似至晦实至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁实至简，故能以其简简他物之至繁；似至难实至易，故能以其易易他物之至难。易生于简，简生于明，综其妙在明而已。（徐光启《几何原本杂议》）

这与两个半世纪后李善兰称《代微积拾级》为“算学上乘功夫”的盛赞情形何其相似！对于传统数学，徐氏在不了解全貌的情况说“虽失十经，如弃敝屣矣”（徐光启《刻同文算指序》），此虽系矫枉过正之言，但说明当时徐氏对译介的欧氏几何的逻辑性和公理化方法的认识还是比较深刻的，所以他向后学推介说：

此书为益，能令学理者祛其浮气，练其精心；学事者资其定法，发其巧思。故当世无一人不当学。……能精此书者无一书不可精，好学此书者无一事不可学。（徐光启《几何原本杂议》）

可是后来的学者，包括他自己对《几何原本》的理解和吸收都仅仅停留在对公理化方法比较形式的认识上，而于演绎推理等实质内容的认识却不深。百年之后呢？杜知耕称：“书（指《几何原本》前六卷）成于万历丁未，至今九十余年，习者尚寥寥无几。”（杜知耕《几何论约·自序》）李子金（1622—1701年）曾谈到京城一些著名学者对《几何原本》的态度时说：“京师诸君子即素所号为通人者，无不望之反走，否则掩卷而不谈，或谈之亦茫然而不得其解。”（杜知耕《数学钥·李子金序》）梅文鼎（1633—1721年）“以勾股解《几何原本》之根”著成《几何通解》，全书从《几何原本》中第二、三、四、六诸卷中选出15 个命题用传统数学的勾股术“会通”，指出“其（指《几何原本》）最难通者，以勾股释之则明”，他的核心思想就是“几何即勾股论”。^[21]同样的，梅氏对平三角、弧三角的会通工作实际上也是根据勾股术这一知识基础选择的。这距徐光启“当世无一人不当学”的号召已逾百年。

案例二：清中期数学家关于天元术与借根方的争论

关于天元术与借根方的争论的研究有很多论著，这里结合第二章第二节的论述以本书的结论简要作一分析。我们选取梅瑴成、汪莱和李锐三人对天元术、借根方的认识为分析对象。

梅瑴成（1681—1763年）在《赤水遗珍》“天元一即借根方解”一节中，记述了他理解天元术的过程：

尝读《授时历》草求弦矢之法，先立天元一为矢，而元学士李冶所著《测圆海镜》亦用天元一立算，传写鲁鱼，算式讹舛，殊不易读。前明唐荆川、顾若溪两公，互相推重，自谓得此中三昧。荆川之说曰：艺士著书，往往以秘其机为奇，所谓立天元一云尔，如积求之云尔，漫不省其为何语。而若溪则言细考《测圆海镜》，如求城径即以二百四十为天元，半径即以一百二十为天元，既知其数，何用算为，似不必立可也。二公之言如此，余于顾说颇不谓然，而无以解也。

后供奉内廷，蒙圣祖仁皇帝授以借根方法，且谕曰：西洋人名此书为《阿尔热八达》，译言东来法也。敬受而读之，其法神妙，诚算法之指南。而窃疑天元一之术颇与相似，复取《授时历》草观之，乃涣如冰释，殆名异而实同，非徒曰似之已也。夫元时学士著书，台官治历，莫非此物，不知何故遂失其传，犹幸远人慕化，复得故物，东来之名，彼尚不能忘所自，而明人独视为赘疣而欲弃之。噫！好学深思如唐顾二公，犹不能知其意，而浅见寡闻者又何足道哉，何足道哉！^[22]

为了证明“立天元一”与“借根方法”名异而实同，梅氏随即举例分别以“借根方法”解“《授时历》立天元一之求矢术”“《测圆海镜》立天元一之法”“《四元玉鉴》立天元一如积求之之法”“《算法统宗》法”等等，并指出“用借根方求之，其理更明”；“以借根方攻之，其坚立破”，毫不掩饰推崇之意，称借根方“其法神妙，诚算法之指南”。

我们应注意到，当时宋元数学还未复显并且流传下来的天元术并不完整，梅氏基于自身的知识基础（“借根方”）去解读“立天元一”是很自然的事。特别的，梅氏“天元一即借根方”这句话中，“借根方”是处于更基础的位置。

梅瑴成作为主编的《数理精蕴》（53 卷）总结了明末清初输入中国的西方数学的主要内容以及当时数学研究的主要成果。就三次方程表示和解法而言，《数理精蕴》介绍两种方法。其一，下编卷二十四介绍的“开带纵较数立方”，这种方法源于《九章算术》，经过梅文鼎总结归纳后被梅瑴成采用编入^[23]，是开方“常法”。其二，下编卷三十三介绍的“借根方比例开带纵立方”，这种方法与“常法”相比在方程的表示和解法上均不同，《数理精蕴》称“此法止有根方多少之号，而无和纵较纵之名，惟求每根之数而不问余边。……故不可以带纵之常法求也”。这种方法来源于耶稣会士安多编译的《借根方算法》^[24]。《数理精蕴》这一皇皇巨著，全面而又系统，而且冠以“御制”之名，偕“圣祖仁皇帝”之威，影响深远，是后世学者研习数学的重要书籍，特别是汉唐宋元数学复显之前的半个世纪中的数学研究者的知识来源，甚至是某些学者的几乎唯一的数学知识来源。

汪莱（1768—1813年）的数学知识主要有两个来源：梅文鼎的数学著作和《数理精蕴》。他的方程论成果主要体现在其《衡斋算学》第二册（1798年）、第五册（1801年）以及第七册（1804年）。^[25]在第二册中，他通过讨论“等积同勾弦和求勾股形”问题发现此题可得两勾股形，进而指出形如x（p-x）2=q （0＜x＜p）（p，q 有明确的几何意义）的方程有两正根并且给出解法。此册方程的表示与解法均与《数理精蕴》开方“常法”相同。

第五册在第二册的基础上，讨论了一般的二次方程和三次方程的正根个数及其相应的解法，并给出了它们的一个基于正根个数的分类方法。在这一册中，方程的表示采用了借根方的形式，但解法是通过方程变换归结为《数理精蕴》“常法”求解，一方面他证明了“借根方带纵立方”可以“带纵之常法”求解，而另一方面因为迁就“常法”而使得解法显曲折，影响了他人对其成果的认识，如张敦仁就“疑之，谓其过苦”。

第七册在第五册的基础上，汪氏给出了三项方程正根的判别式。此册中方程的表示法有两种形式，一种是秦九韶的正负开方术形式，一种是变化的“借根方”形式，主要是系数的符号用“正负”而不用“多少”表示，如“一三乘方正，几立方负，几真数正”。方程解法采用正负开方术。^[26]

汪氏作第二册时，秦九韶正负开方术尚未显于世，作第五册时，他已经知道“秦九韶开方术及李冶天元一术”，但他发现《测圆海镜》“边股”第五问圆城求径方程应该有240 和576 两正根，以及《数书九章》“田域”第二问尖田求积方程应该有240 和840 两正根，因此对秦、李之书“独加訾议”。^[27]结合前文的论述，就汪氏的方程论而言，仅仅是其方程的表达形式运用了“借根方”的形式，而核心的开方法却是发源于传统开方术的“常法”以及后来复显的“正负开方术”。又，汪莱在《张古愚缉古算经细草叙》（1801年）中称：

算家推见至隐莫善于借根方，本隐之显实始于天元一，近时言借根方者十得八九，习天元者十无二三，数典忘祖，兹其一端。^[28]

若汪氏陷于借根方，岂不是说自己也属于“数典忘祖”之徒？！明确了汪氏方程论方法的知识来源，我们认为他受到时人的攻击恐怕不是因为“墨守西法”，而是因为他“泥于可知、不可知”、“訾议”秦、李之书，冒犯了崇尚中法之人^[29]。

李锐（1769—1817年）1789年入紫阳书院师从“一代儒宗”钱大昕学算。钱氏的学术工作主要是表彰中法，考遍其所有著述，钱氏在经史考证方面没有运用任何西方天文数学知识，他考史的所有天文历算知识均是来自中国传统的。虽然他熟悉传教士传入的西方历算知识，对待西学方面提倡“能用西学”而不是“为西学所用”。^[30]1795年，李锐就见到李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，并为之校订。同年，开始编纂由阮元主持的《畴人传》^[31]。1796年在给焦循的信中陈述了他的“三大愿”：第一愿，全面研究中国传统天文历法，对各家历法进行综合分析、考订补缺、阐微发隐，“俾古人创造之法愈改愈密之苦心不致泯没无传”；第二愿，研究西方历法，“试谈西法者知彼中测验亦由疏而密，非一蹴可得”；第三愿，阐释中国传统数学，“欲一一究明其所以然”。^[32]1797年获读秦九韶的《数学九章》并校订。1798年李锐校本《测圆海镜》（阮元序）刊入《知不足斋丛书》。

对比汪、李二人30 岁之前的经历，相较于前者，李锐因为其学术圈的原因而能获得更多的有关传统天文历算的资料以及指导，在汪莱讨论“等积同勾弦和”问题发现某些三次方程可能有多个正根时（1798年），天元术已经是李锐知识构成中的重要部分了。

我们再看看1796年五月初十李锐给焦循的另一封信，起因是焦循运用“借根方”得到勾股容圆的半径与勾股形三边之间的一个关系式，李锐对其结果表示“不胜敬服之至”，但对借根方与天元术之间关系发表了一番极富逻辑的长论：

惟解借根方数行于鄙意有未慊然，今录梅总宪（指梅瑴成）元法，稍加注释，写具别纸呈教。按：借根方西人名为东来法，梅总宪谓即古立天元一是也。锐尝推而论之，元郭守敬求周天矢度，用开带从三乘方，立天元一法也。西人求每弧通弦，用诸等边割圆，借根方法也。借根方即立天元一，则有天元一而后有借根方，有借根方而后有八线表，有八线表而后有弧三角法，有弧三角法后测验密，测验密而后推步精。^[33]

前文提到，梅瑴成曾用借根方解释天元术，他的原话是“天元一即借根方”，而不是李锐所述的“借根方即立天元一”。从数学的角度而言，这两句话是“a=b”等价于“b=a”的命题，似乎没有什么区别；但从解释学的角度而言，它们是有区别的，解释语句中用以解释的词汇是处于更为基础的地位。这种顺序的颠倒，应该是李锐特意为之。联系当年两个月前李锐“三大愿”的那封信中提到中法“古人创造之法愈改愈密”，西法“测验亦由疏而密”，李锐实际上在逻辑上将“中西推步之学”递归统一到“天元一”这一基础上，更为明晰地印证了“西学中源”。

综上，若从三位学者的知识构成的角度出发，一些现象可以得到较好的解释。梅瑴成受教于康熙帝并且编纂《数理精蕴》，对借根方非常熟悉，所以他能解“天元一即借根方”；汪莱囿于《数理精蕴》中的开方“常法”，致其新见表达有曲折之嫌，难以在学友圈中获得更广泛的认同；李锐因为师承和较好的学术资源而更倾心于“天元术”，因此他可以很自信地论证“借根方即立天元一”。

注意他们的知识构成及其随着时间的变化，再结合当时乾嘉学派“西学中源”的倡导，对于1800年前后20年的借根方与天元术之争中各方的立场的认识可能要清晰些。^[34]

案例三：微积分在晚清的传播

我们知道，数学分析的严格化在19世纪30年代就逐渐完成，而《代微积拾级》是1859年才出版发行的。有些研究指摘当时传入中国的微积分不是严格的，并不是当时最先进的知识，极限的定义都没有运用“ε-δ”语言进行定义。其实，我们认为即使当时严格化的微积分传入中国也不会有什么影响。该书出版后，当时的学习者往往关心如何用微积分方法解决他们以前很难解决或者无法解决的具体问题，而很少注意到微积分在其他方面的应用，如对曲线性质的研究^[35]。即便如此，如本书第四章所论，他们也不是很顺利地接受了求曲线函数幂级数更好的展开公式——泰勒展式和和麦克劳林公式，而是在“递加数”的方法上徘徊了很长一段时间。有研究指出，早在1845年就有六种微积分著作的俄译本传入中国，其中就包括柯西的著作，可是无人研究，甚至连书名都译不准确。还有1910—1917年间德国数学家克诺普（K.Knopp，1882—1957年）受聘于青岛大学，讲授数学，他本人是研究数学分析的专家，本应该能培养出一些完全掌握微积分的中国学生，但令人遗憾的是，学生缺乏基础，几乎听不懂课。克诺普本人也十分可惜自己虚度了7年时间。^[36]