如前所述，晚清学校的课程体现了“分科立学、分科治学”的观念，于数学而言，则体现出当时国人的数学知识体系，这个体系明确的“示范”则是晚清教会学校编译的数学教科书。

外国传教士在华办学最早的是嘉庆二十三年（1818年）英国伦敦会教士马礼逊（R.Morrison，1782—1834）与米怜（W.Milne，1785—1822）在马六甲设立的英华书院（Anglo-Chinese College）。《南京条约》签订、香港割让以及五口通商后，教会学校逐渐向中国内地扩展，它在近代中国的发展大体经历三个阶段：第一阶段为创始时期，从鸦片战争爆发到第二次鸦片战争结束。教会学校一般附设在香港和通商五口岸的教堂里，规模较小、程度较低。第二阶段为发展期，从第二次鸦片战争后期到义和团运动。此期，教会学校总数和学生数都明显增加，基督教中学增幅较大。第三阶段为成熟期，从义和团运动后期到清末。此期，教会大学渐次创办，形成了教会学校从低到高的完整体系。

教会学校设立之初即以传播教义为根本目的，以基督教国家的学校为办学模式。科学教育是教会学校教育的组成部分，其目的在于培养学生的宗教信仰，力图宗教与科学结盟，最终推进传教事业。^[111]随着传教活动的扩展，教会学校不仅数量增加，学生人数激增，而且逐步向正规化发展。在这种情况下，编译规范的教科书成为教会学校急需解决的问题。

光绪三年（1877年）在华的新教传教士第一届大会（The First General Conference of the Protestant Missionaries in China）在上海召开，会议最为关注的议题就是教科书的编译问题。狄考文认为：“教会学校成功在很大程度上取决于好的适合的教科书。否则，教师的劳动会白费，授课也不会完美，一些重要的分支还会被忽略，中国学生课余缺乏教材强有力的帮助。现在中国有着学习西方科学和教育方法的普遍愿望，要促进这个势头，第一也是最基本的必需品就是好的教科书，其次是经过培训的合格的中国教师。”^[112]此次大会决定成立“学校教科书委员会”（School and Textbook Series Committee），中文名称为“益智书会”。委员为狄考文、韦廉臣、丁韪良（W.A.Martin）、林乐知、傅兰雅、黎力基（R.Lechler）等人。“益智书会”之名源于1834年由在广州的英美传教士及部分商人组成的一个翻译出版机构“中国益智会”（The Society for Diffusion of Useful Knowledge in China）直译为“在华实用知识传播会”。^[113]已有研究认为，“学校教科书委员会”是一个以宗教教育为目的、以教科书研讨为主要任务的西方传教士在华教育机构，它同时具有编辑、审定和出版发行等功能。它的主要职能是探讨以教育方式向中国年轻人传播基督教思想，同时亦重视改变中国学生的受教方式，向中国学生输出按西方模式编辑而成的“中国教科书”。它是一个编译人员齐备、具有出版发行能力、以教科书为工作核心的在华传教士的文化团体。^[114]早期具体的几项主要工作就是确定编译教科书的内容并付诸实施、确定编译原则以及统一术语译名。

光绪十六年（1890年）五月，在华基督教传教士445 人，在上海举行第二次全国传教士大会，大会认为“学校教科书委员会”作为一个编译和出版机构，在协调和组织各个差会及影响中国教育制度的变革方面已不能适应教会教育发展的需要，有必要扩大该委员会的职能和组织。大会决定将“学校教科书委员会”改组成为The Educational Association of China，中文名称沿用“益智书会”，直至光绪三十一年（1905年）改称为“中华教育会”。大会推举狄考文为首任会长，并确定该会的基本宗旨：第一，编译适用的教科书以适应教会学校的需要；第二，加强从事教学工作人员教授上的互助合作；第三，探求及解决中国的一般教育问题。它的职能也由过去单一的编译出版教材，扩展到对整个在华基督教教育进行指导。“中华教育会”下设出版委员会，由狄考文主持。光绪二十八年（1902年）后，“中华教育会”的工作重点逐渐转向教会自身的发展，提高质量成为追求的目标。“中华教育会”在这一过程中也开始重新确立自己的使命，从一个企图解决中国一般性问题的机构转变为主要关注教育自身发展的团体。在民国元年（1912年）第七次年会上，“中华教育会”改名为“全国基督教教育会”，四年（1915年）改为“中华基督教教育会”。^[115]

在华传教士的组织机构名称虽有变化，但其一直很重视教材编译工作，以“益智书会”这个中文名存续的近30年时间（1877—1890—1905年）里，编译出版了不下60 种教材。这些教材揭开了中国近代教科书发展的帷幕，在内容上它们注意将科学名词规范化和科学知识条理化，为近代教科书的编译提供最早的样板。其中有关数理化的教科书，介绍了西方近代的自然科学知识，为数、理、化、天文、地理等学科编订统一的中文译名，在传播西学方面起到了积极作用。^[116]

教科书的编译并非易事。它是一种特殊知识载体，具有内容的系统关联性，内容结构的规定性、渐进性和具体内容的科学性、经典性、先进性等属性。教科书的编排必须是科学的，它既要考虑到如何对某一门的知识形成一条系统、完整的知识链，又要考虑到所有学科之间形成一个有机的知识网络，还要考虑到受教育者在各年龄阶段的生理心理特征和认知规律，才能收到循序渐进的教育效果。^[117]

中国传统的数学教育以及自强运动之初开始设立的洋务学堂的数学教学，所选用的教学材料是不具备这些特点的。洋务学堂的西书远没有达到教材的系统关联性的要求，各知识载体之间既无形成有机的知识网络，每一学科也没有形成系统完整的知识链。按傅兰雅的说法，当时的译书只是“择其合己所紧用者”，个人随意性相当大。远没有达到教材结构的规定性、渐进性和内容的经典性、先进性。^[118]其实，传教士伟烈亚力早在刚到中国之初就注意到这一点，他曾感叹：

夫古今中西算术，义类甚深，儒者视为畴人家言，不能使闾闾小民习用易晓。窃惟上帝降衷，实有恒性，知识聪明，人人同具，彼数为六艺之一，何以至今不能人人同习耶！

为了“人人同习”数学，他计划编写或翻译一套循序渐进的数学教材。^[119]他用中文编写的《数学启蒙》是这个教材系列的第一部^[120]，该书第一版于1853年出版，他在序中声明了他的计划，他说：

余自西土远来中国，以传耶稣之道为本，余则见习艺能。爰述一书，曰《数学启蒙》，凡二卷。举以授塾中学徒，由浅及深，则其知之也易。譬诸小儿，始而匍匐，继而扶墙，后乃能疾走。兹书之成，姑教之匍匐耳，扶墙徐行耳，若能疾走，则有代数、微积分诸书在，余将续梓之。^[121]

这个计划是沿着“算术→代数→微积分”这个知识渐进线路进行的。^[122]第二部是他与李善兰合译的《代数学》（1859年）。《代数学》的底本是英国数学家棣么甘 （Augustus De Morgan，1806—1871）的Elements of Algebra（《代数学初步》），该英文版还有一个很长的副标题：preliminary to the differential calculus and fit for the higher classes of schools in which the principles of arithmetic are taught （微分学的预备，适合于学习过算术法则课的高年级学生）。第三部就是《代微积拾级》（1859年）。李善兰解释书名时说：“是书先代数（此处指‘代数几何’，即解析几何），次微分，次积分。由易而难，若阶级之渐升，译既竣，即名之曰《代微积拾级》。”拾，音shè （涉），拾级估计是取意于《礼记·曲礼上》“拾级聚足，连步以上”。^[123]又，唐代颜师古的《匡谬正俗》卷三“拾级聚足，此言升阶历级，每一级则并足，然后更登也”。《代微积拾级》的书名就表明了知识的渐进关系。

将伟烈亚力主导翻译的这几部书联系起来，可见其良苦用心，从中也可以看出他给出了一个渐进的数学知识结构：算术→代数→解析几何→微分→积分。如果考虑他与李善兰合译的《几何原本》（后九卷，1857年），这个知识结构中“代数”后面还可以加入“几何”。伟烈亚力这个译著系列很大程度考虑了当时中国人的数学知识结构，自觉地为国人编选了数学“系统”教材。也是由于这些书籍的影响，国人才逐渐了解数学现代的渐进的知识分类体系：算术、代数、几何、解析几何、微分、积分等内容。这从本节前面论述的学校的数学课程设置就可以看出。

伟烈亚力之后，注重数学教科书的知识系统性和渐进性的就是益智书会的狄考文了。在书会设立之初，狄考文就指出教科书编纂必须遵循一定规则和编写体例，强调学校用书要义在于它是供教师研究和教学之用，而不是仅供阅读的。这就要求教科书在编排上不仅要清晰、主题安排具有哲理性，而且对主题还要进行仔细的再划分。好的教科书应该成系统的，仔细编排的，能给出重要事实和原理，使学生易于区别、易于接受。他还批评中国教师不懂教学方法，认为新式的教科书对他们有所帮助和指导。^[124]

狄考文在《笔算数学》序中指出数学知识体系包含的种类及其渐进性，他说：

算学者，系算法之总名，内包种类甚多，即如数学^[125]、代数学、形学、八线学、微分、积分学等。凡此诸学，彼此各有分别，各有次序，然而皆以数学为本。由此愈推愈广，愈出愈精，以至算法之极微妙处。故学者欲登算途，必不得躐等而进，非由数学入门不可。(www.daowen.com)

狄考文在《形学备旨》序中解释为何用“形学”作为geometry 的译名，并且对geometry 作了界定。他说：

此《形学》一书与《几何原本》乃同，而不同其所以不名“几何”而名“形学”，诚以“几何”之名所概过广，不第包“形学”之理，举凡算学各类，悉括于其中。且欧氏创作是书，非特论各形之理，乃将当时之算学，几尽载其书，如第七、八、九、十诸卷，耑论数算，绝未论形，故其名为“几何”也亦宜。而今所作之书，乃耑论各形之理，归诸形于一类，取名“形学”，正以“几何”为论诸算学之总名也。

从geometry 内容上说，狄考文的看法是对的。他还将《代数备旨》与之前翻译的《代数学》和《代数术》进行比较，说明教科书的渐进性。他在《代数备旨》的序中说：知者之涉猎而作，非为未知者习算而作也。况此二书皆无习问，学者无所推演，欲凭此以习代数，不亦难乎？^[126]

此二书虽甚工雅，然而学者仍难就绪。盖人作书意各不同，有为阐发数理，以备好算家考查而作；有为务求新异以显其独得之奇者。观伟公所译之原本，特欲显其艺能、小巧，故未能始终详明令人由浅以及深也。而傅公所译之原本，乃欲备述代数之大旨，以供人之查检，是为已

的确，《代数学》学术性太强，而《代数术》又有很强的综合性，都不适合作为当时中国人学习代数学的教材。

潘慎文在《代形合参》序中介绍“代形学”（解析几何）时说：

算之为学，理深而用广，就其术而类分之，则名可约举也。曰数学、曰代数、曰形学、曰八线、曰微积，已足尽括而无遗。……如形学，以图为宗，不言数而言理，直溯立法之本原，使读者展视了然，为益大矣。惟立方以上不能绘象，而形学之术穷。若代数则无问四乘、五乘以上俱可以式显之，此代数之用所以广于形学也。以代数推形学之题，则难易不可同日而语。然苟无形学、条段之本理为之根，则亦无从布式。是故形学得代数而用益广，代数藉形学而理益明，合代数形学之术，遂有以探算学之奥，阐数理之幽。

并且在所列“凡例”的第六条特别指出：

学此书者，必先于数学、代数、形学、八线等，涉略津涯，更能潜心玩味，始可领会，非然，罕有不望洋兴叹者也。

益智书会编译的在美华书馆出版的主要数学教科书如下：《数学启蒙》（1853年初刊，1886年重刊）、《笔算数学》（狄考文1892年序）、《形学备旨》（狄考文1884年序）、《代数备旨》（狄考文1891年序）、《八线备旨》（潘慎文1893年序）、《圆锥曲线》（求德生1893年序）、《代形合参》（潘慎文1893年序）、《微积学》（刘光照译，1905年美华书馆第1 版）。若将这些教科书作为整体来考察，结合它们各自序文所强调的，它们实际上给出了一个较为完整的近代数学知识渐进的“示范”样板体系：算术、笔算→代数、（平面、立体）几何（“形学”）→（平面、球面）三角→圆锥曲线→（平面、立体）解析几何（“代形学”）→微分、积分。在这个体系中，作为课程首次独立出现的“圆锥曲线”和“解析几何”使得整个知识链条变得完整，同时也使得这个最高知识层次为微积分的近代数学知识体系相对完备。

《圆锥曲线》版权页以及正文第一页（光绪十九年美华书馆刊本）

1900年，杜亚泉主编的《亚泉杂志》第3 册中载有一文《微积问答》，其中有读者“问微积学如何入门”，杂志回答说：

须已明普通算学之理者方可问津。所谓普通算学者，即数学、代数学、形学、八线学是也。已明普通算学，须再习代形学。代形学者，以代数发明形学之理，其实与代数、形学意趣全别。其书以《代形合参》为最详。《代微积拾级》第一册之“代数学”，实亦代形学，明简赅括。《代数术》中亦略及代形学，即二十二卷之“代数几何”与二十三卷之“方程界线”是也。治微积学，决乎不能不从代形学入手。而已通代形学，于微积学亦自迎刃而解。^[127]

虽是回答如何学习微积分学，但可以看出这个渐进的知识结构体系在20世纪初已逐渐为国人所接受。